V 권
명제
크기가 같은 두 크기는 어떤 크기에 대해서든 같은 비율을 가진다. 그리고 어떤 크기든 간에 같은 크기의 크기는 같은 비율을 가진다.
세 크기 \(a\), \(b\), \(c\)가 있다. \(a=b\)이면, 임의의 \(c\)에 대하여 \(a:c=b:c\)이고, \(c:a=c:b\)이다.
\(a=b\)이라고 하자. 임의 수 \(c\)가 있다.
1) \(a:c=b:c\)임을 보이자.
수 \(m\)에 대하여 \(d\), \(e\)는 \(d=ma\), \(e=mb\)이다. 또한 수 \(m\)에 대하여 \(f\)는 \(f=mc\)이라고 하자.
그러면 \(a=b\)이면 \(d=ma=mb=e\)이므로 \(a=b\)이다.
그런데 \(f\)는 어떤 크기이다. \(d>f\)이면 \(e>f\)이고, \(d=f\)이면 \(e=f\)이며, \(d < f\)이면 \(e < f\)이다.
그런데 \(d=ma\), \(e=mb\), \(f=mc\)이므로, \(a:c=b:c\)이다. [V권 정의 5]
2) 다음으로 \(c:a=c:b\)임을 보이자.
같은 방법으로, \(d\), \(e\)를 만들었을 때, \(d=e\)임을 보일 수 있다. \(f\)는 임의의 크기이다. 만약 \(f=d\)이면 \(f=e\)이고, \(f>d\)이면 \(f>e\)이며, \(f < d\)이면 \(f < e\)이다.
그리고 어떤 수 \(m\)에 대하여 f=mc이고, \(d=ma\), \(e=mb\)이다. 따라서 \(c:a=c:b\)이다. [V권 정의 5]
그러므로 크기가 같은 두 크기는 어떤 크기에 대해서든 같은 비율을 가진다. 그리고 어떤 크기에 대하여 같은 크기의 크기는 같은 비율을 가진다.
Q.E.D.
네 개의 크기 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) 에 대하여 \(a:b=c:d\)이면 \(b:a=d:c\)이다.
따름 명제는 위치가 부적절하다. 그 명제에는 아무런 관련성이 없다. 이 명제는 모든 크기가 같은 종류여야 하지만 그렇지 않기 때문에 그것이 요구된 결과를 산출할 수 있는 방법이 없다. 하지만 결론은 유효하고, 그것은 [V권 정의5]로부터 쉽게 도출된다.
이와 같은 비율의 기본 속성은 비율이 언급될 때 자주 사용다. [V권 명제 10]부터 시작하여 V권 내에서 몇 번, VI권에서도 자주 사용되며, 이후 책에서도 종종 사용된다.