V 권
명제
두 크기에 대하여 같은 수를 곱하고 그 곱들에서 원래의 크기에서 또 어떤 같은 수를 곱한 것을 빼면, 그들의 나머지들은 원래 크기이거나 또는 원래 크기에 같은 곱이다.
두 크기 \(e\), \(f\)에 대하여 \(\overline{\rm AB}=me\), \(\overline{\rm CD}=mf\)이라 하자(\(m\)은 수). 또 \(\overline{\rm AG}=ne\), \(\overline{\rm CH}=nf\)이고 \(\overline{\rm GB}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm HD}=\overline{\rm CD}-\overline{\rm CH}\)라 하자.(\(n\)은 수) 그러면 \(\overline{\rm GB}=e\), \(\overline{\rm HD}=f\) 또는 \(\overline{\rm GB}=(m-n)e\), \(\overline{\rm HD}=(m-n)f\)이다.
두 크기 \(e\), \(f\)에 대하여 \(\overline{\rm AB}=me\), \(\overline{\rm CD}=mf\)이라 하자(\(m\)은 수). 또 \(\overline{\rm AG}=ne\), \(\overline{\rm CH}=nf\)이고 \(\overline{\rm GB}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm HD}=\overline{\rm CD}-\overline{\rm CH}\)라 하자.(\(n\)은 수)
그러면 \(\overline{\rm GB}=e\), \(\overline{\rm HD}=f\) 또는 \(\overline{\rm GB}=(m-n)e\), \(\overline{\rm HD}=(m-n)f\)임을 보이자.
1) \(\overline{\rm GB}=e\)이면 \(\overline{\rm HD}=f\)임을 보이자.
\(\overline{\rm CK}=f\)인 선분 \(\rm CK\)를 그리자.
\(\overline{\rm AG}=ne\)인 것과 같이 \(\overline{\rm CH}=nf\)이고 \(\overline{\rm GB}=e\)이므로 \(\overline{\rm KC}=f\)이므로 \(\overline{\rm AB}=(n+1)e\)인 것 같이 \(\overline{\rm KH}=(n+1)f\)이다. [V권 명제 2]
가정에 의해서 \(\overline{\rm AB}=(n+1)e\)이것 같이 \(\overline{\rm CD}=(n+1)f\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm KH}=(n+1)f\)인 것처럼 \(\overline{\rm CD}=(n+1)f\)이다.
\(\overline{\rm KH}=(n+1)f\), \(\overline{\rm CD}=(n+1)f\)이므로 \(\overline{\rm KH}=\overline{\rm CD}\)이다.
\(\overline{\rm CD}-\overline{\rm CH}=\overline{\rm KH}-\overline{\rm CH}\)이므로 \(\overline{\rm HD}=\overline{\rm KC}\)이다.
\(\overline{\rm KC}=f\)이므로 \(\overline{\rm HD}=f\)이다.
그러므로 \(\overline{\rm GB}=f\)인 것처럼 \(\overline{\rm HD}=f\)이다.
2) \(\overline{\rm GB}=ne\), \(\overline{\rm HD}=nf\)일 때도 1)과 같은 논리로 증명할 수 있다.
그러므로 두 크기에 대하여 같은 수를 곱하고 그 곱들에서 원래의 크기에서 또 어떤 같은 수를 곱한 것을 빼면, 그들의 나머지들은 원래 크기이거나 또는 원래 크기에 같은 곱이다.
Q.E.D.
이 명제는 \(ma\)와 \(mb\)는 \(a\)와 \(b\)의 같은 수 \(m\)의 곱이고 \(na\)와 \(nb\)도 역시 \(a\)와 \(b\)의 같은 수 \(n\)의 곱이라면 \(ma - na\)와 \(mb - nb\)는 \(a\), \(b\)의 같은 수 \(\left(m-n\right)\)의 곱이라고 설명한다. 그것은 덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙에 대한 명제 [V권 명제 2]와 유사하다.
이 증명는 분배법칙에 의존한다. 즉, 두 수의 뺄셈에서의 곱셈의 분배법칙 \(\left(m - n\right)a = ma - na\)을 말한다. 유클리드 원론의 그림은 \(m=4\)로 하고 \(n=3\)이다. 그는 수가 되기 위해 1을 선택하지 않았기 때문에 두 개의 경우로 나누어 증명하였다.
이 명제는 원론의 다른 곳에서는 사용되지 않는다.