V 권
명제
어떤 크기가 다른 어떤 크기의 곱이라고 하자. 거기에서 어떤 부분들을 뺏는데, 부분은 부분에 대하여, 크기가 크기의 곱인 것과 같은 곱이라고 하자. 그러면 나머지도 나머지에 대하여 크기가 크기의 곱인 것과 같은 곱이다.
두 크기 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)는 \(\overline{\rm AB}=k\overline{\rm CD}\)이며, 선분 \(\rm AB\)의 부분인 선분 \(\rm AE\)와 선분 \(\rm CD\)의 부분인 선분 \(\rm CF\)는 \(\overline{\rm AE}=k\overline{\rm CD}\)라고 하자. 그러면 \(\overline{\rm EB}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm FD}=\overline{\rm CD}-\overline{\rm CF}\)인 두 크기 \(\rm EB\), \(\rm FD\)에 대하여, \(\overline{\rm EB}=k\overline{\rm FD}\)이다. (단, \(k\)는 상수)
두 크기 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)는 \(\overline{\rm AB}=k\overline{\rm CD}\)이며, 선분 \(\rm AB\)의 부분인 선분 \(\rm AE\)와 선분 \(\rm CD\)의 부분인 선분 \(\rm CF\)는 \(\overline{\rm AE}=k\overline{\rm CD}\)라고 하자. (단, \(k\)는 상수)
그러면 \(\overline{\rm EB}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm FD}=\overline{\rm CD}-\overline{\rm CF}\)인 두 크기 \(\overline{\rm EB}\), \(\overline{\rm FD}\)에 대하여, \(\overline{\rm EB}=k\overline{\rm FD}\)임을 보이자.
\(\overline{\rm AE}=k\overline{\rm CF}\)인 \(k\)에 대하여, \(\overline{\rm EB}=k\overline{\rm CG}\)가 되도록 선분 \(\rm CG\)를 그리자.
그러면 \(\overline{\rm AE}=k\overline{\rm CF}\), \(\overline{\rm EB}=k\overline{\rm GC}\)이므로 \(\overline{\rm AE}=k\overline{\rm CF}\), \(\overline{\rm AB}=k\overline{\rm GF}\)이다. [V권 명제 1]
그런데 가정에 의해서 \(\overline{\rm AE}=k\overline{\rm CF}\), \(\overline{\rm AB}=k\overline{\rm CD}\)이다.
그러므로 \(\overline{\rm AB}=k\overline{\rm GF}=k\overline{\rm CD}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm GF}=\overline{\rm CD}\)이다.
\(\overline{\rm GF}-\overline{\rm CF}=\overline{\rm CD}-\overline{\rm CF}\)이므로 \(\overline{\rm GC}=\overline{\rm FD}\)이다.
\(\overline{\rm AE}=k\overline{\rm CF}\), \(\overline{\rm EB}=k\overline{\rm GC}\), \(\overline{\rm GC}=\overline{\rm DF}\)이므로 \(\overline{\rm AE}=k\overline{\rm CF}\), \(\overline{\rm EB}=k\overline{\rm FD}\)이다.
그런데 가정에 의해서 \(\overline{\rm AE}=k\overline{\rm CF}\), \(\overline{\rm AB}=k\overline{\rm CD}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm AB}=k\overline{\rm CD}\), \(\overline{\rm EB}=k\overline{\rm FD}\)이다.
그러므로 \(\overline{\rm AB}=k\overline{\rm CD}\)인 \(k\)에 대하여 나머지 두 선분 \(\overline{\rm EB}\), \(\overline{\rm FD}\)는 \(\overline{\rm EB}=k\overline{\rm FD}\)이다.
그러므로 어떤 크기가 다른 어떤 크기의 곱이라고 하자. 거기에서 어떤 부분들을 뺏는데, 부분은 부분에 대하여, 크기가 크기의 곱인 것과 같은 곱이라고 하자. 그러면 나머지도 나머지에 대하여 크기가 크기의 곱인 것과 같은 곱이다.
Q.E.D.
이 명제는 V.1과 유사하지만 더하기가 아닌 빼기와 관한 것이다. 이것은 수 m에 의한 곱셈의 뺄셈에 대한 분배법칙 \(m (x-y) = mx-my\)을 말하고 있다.
이 명제의 모든 크기는 동일한 종류이다.
증명의 시작 부분에 전체의 일부를 만들기 위한 작도가 있다.
\(\overline{\rm AE}=k\overline{\rm CF}\)인 \(k\)에 대하여, \(\overline{\rm EB}=k\overline{\rm CG}\)가 되도록 선분 \(\rm CG\)를 그리자.
예를 들어 \(\overline{\rm AE}=\frac13\overline{\rm CF}\)이라면 \(\overline{\rm CG}=\frac13\overline{\rm EB}\)이 된다. 이러한 구조는 모든 종류의 크기, 특히 각과 호에 대해서는 만들어질 수 없다.
부분의 작도가 필요 없는 대체 증명은 비교적 쉽게 찾을 수 있다. 크기에 대한 일반적인 작도의 보다 흥미로운 문제는 [V권 명제 18]에 대한 부연설명에 나와 있다.
이 명제는 나머지 원론에서는 사용되지 않는다.