V 권
명제
첫째 크기와 둘째 크기의 비율이 셋째 크기와 넷째 크기의 비율이 같다고 하자. 같은 어떤 수를 첫째 크기와 둘째 크기에 곱하자. 이전과 다른 같은 어떤 수를 둘째 크기와 넷째 크기에 곱하자. 그러면 그렇게 어떤 수들이 곱해진 첫째 크기와 둘째 크기의 비율은 셋째 크기와 넷째 크기의 비율은 같다.
네 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)가 있다. 그러면 임의의 \(p\), \(q\)에 대하여, \(a:b=c:d\)이면 \(pa:qb=pc:qd\)이다.
첫째 크기, 둘째 크기, 셋째 크기, 넷째 크기를 각각 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)라고 하고, \(a:b=c:d\)라고 하자. \(e=pa\), \(f=pc\) 그리고 \(g=qb\), \(h=qd\)이라고 하자. (\(p\), \(q\)은 상수)
그러면 \(e:g=f:h\)임을 보이자.
\(k=re\), \(l=rf\) 이고 \(m=sg\), \(n=sh\)이라고 하자. (\(r\), \(s\)는 상수)
\(e\)와 \(f\)는 \(a\)와 \(c\)에 각각 같은 곱 \(p\)를 곱한 크기이다. 그리고 \(k\)와 \(l\)은 \(e\)와 \(f\)에 각각 같은 곱 \(r\)을 곱한 크기이다. 그러므로 \(k=rpa\), \(l=rpc\)로 \(k\)와 \(l\)은 \(a\)와 \(c\)에 각각 같은 곱 \(rp\)를 곱한 크기이다. [V권 명제 3] 같은 이유로 \(m=sqb\), \(n=sqd\)로 \(m\)과 \(n\)은 \(b\)와 \(d\)에 각각 같은 곱 \(sq\)를 곱한 크기이다.
\(a:b=c:d\)이고 \(k=rpa\), \(l=rpc\), \(m=sqb\), \(n=sqd\)이다. 그러므로 \(k>m\)이면 \(l>n\)이고, \(k=m\)이면 \(l=n\)이며, \(k< m\)이면 \(l < n\)이다. [V권 정의 5]
\(k=re\), \(l=rf\), \(m=sg\), \(n=sh\)이다. 그러므로 \(e:g=f:h\)이다. [V권 정의 5]
그러므로 첫째 크기와 둘째 크기의 비율이 셋째 크기와 넷째 크기의 비율이 같다고 하자. 같은 어떤 수를 첫째 크기와 둘째 크기에 곱하자. 이전과 다른 같은 어떤 수를 둘째 크기와 넷째 크기에 곱하자. 그러면 그렇게 어떤 수들이 곱해진 첫째 크기와 둘째 크기의 비율은 셋째 크기와 넷째 크기의 비율은 같다.
Q.E.D.
이 명제는 다음과 같은 진술로 서술할 수 있다.
네 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)가 있다. 그러면 임의의 \(p\), \(q\)에 대하여, \(a:b=c:d\)이면 \(pa:qb=pc:qd\)이다.
유클리드는 \(pa:qb=pc:qd\)임을 증명하기 위해서 비율의 상등에 대한 정의를 사용하였다. (단, \(a\), \(b\)는 같은 종류의 크기이고, \(c\), \(d\)도 같은 종류의 크기이며, \(p\), \(q\)는 수이다.)
이것의 의미는 a:b=c:d이면 임의의 \(m\), \(n\)에 대하여 \(ma > = < nb\) 이면 \(mc > = < nc\) 이다.
비율 정의에 의해서 임의의 수 \(p\), \(q\)에 대하여, \(pa:qb=pc:qd\)를 증명하기 위해서는 \(mpa:nqb > = < mpc:nqd\)임을 증명하여야 한다.
이것은 \(ma > = < nb\)이면 \(mc > = < nd\)의 특별한 경우이다.
[V권 명제 4]는 [V권 명제 22]의 증명에 한 번 사용된다.