V 권
명제
첫째 크기가 둘째 크기의 어떤 곱이고, 셋째 크기가 넷째 크기의 어떤 크기의 곱이라고 하자. 첫째 크기의 셋째 크기에 다른 크기를 곱해서 얻은 크기는 각각 그 크기들은 둘째 크기와 넷째 크기의 또 다른 크기를 곱해서 얻은 크기와 같다.
\(a=nb\), \(c=nd\)인 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여, \(\overline{\rm EF}=ma\), \(\overline{\rm GH}=mc\)이면 \(\overline{\rm EF}=mnb\), \(\overline{\rm GH}=mnd\)이다.(\(m\), \(n\)은 상수)
네 개의 크기 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)가 \(a=nb\), \(c=nd\)라 하자. (\(n\)은 상수) 그리고 \(\overline{\rm EF}=ma\), \(\overline{\rm GH}=mc\)이라하자. (\(m\)은 상수)
그러면 \(\overline{\rm EF}=mnb\), \(\overline{\rm GH}=mnd\)임을 보여야 한다.
\(\overline{\rm EF}=ma\), \(\overline{\rm GH}=mc\)이므로 선분 \(\rm EF\)는 \(a\)인 크기가 \(m\)개 있고, 선분 \(\rm GH\)도 \(c\)인 크기 \(m\)개가 있다.
선분 \(\rm EF\)를 \(\overline{\rm EK}=\overline{\rm KF}=a\)인 선분 \(\rm EK\), \(\rm KF\)로 나누자. 그리고 선분 \(\rm GH\)도 \(\overline{\rm GL}=\overline{\rm LH}=c\)로 선분 \(\rm GL\), \(\rm LH\)로 나누자. 그러면 \(\rm EK\), \(\rm KF\)로 나눈 개수는 \(\rm GL\), \(\rm LH\)로 나눈 개수는 \(m\)개로 같다.
\(a=nb\), \(c=nd\)이고 \(\overline{\rm EK}=a\), \(\overline{\rm GL}=c\)이므로 \(\overline{\rm EK}=nb\), \(\overline{\rm GL}=nd\)이다.
같은 이유로 \(\overline{\rm KF}=nb\), \(\overline{\rm LH}=nd\)이다.
그러므로 \(\overline{\rm EK}=nb\), \(\overline{\rm GL}=nd\), \(\overline{\rm KF}=nb\), \(\overline{\rm LH}=nd\)이므로 \(\overline{\rm EF}=\overline{\rm EK}+\overline{\rm KF}=mnb\), \(\overline{\rm BF}=\overline{\rm GL}+\overline{\rm LH}=mnd\)이다. [V권 명제 2]
그러므로 첫째 크기가 둘째 크기의 어떤 곱이고, 셋째 크기가 넷째 크기의 어떤 크기의 곱이라고 하자. 첫째 크기의 셋째 크기에 다른 크기를 곱해서 얻은 크기는 각각 그 크기들은 둘째 크기와 넷째 크기의 또 다른 크기를 곱해서 얻은 크기와 같다.
Q.E.D.
이 명제는 \(w\)와 \(x\)가 \(y\)와 \(z\)의 같은 수의 곱이고 \(u\)와 \(v\)가 \(w\)와 \(x\)의 같은 수의 곱이라면 \(u\)와 \(v\)는 \(y\)와 \(z\)의 같은 수의 곱이라고 말한다. 증명은 곱셈의 결합법칙인 \(m(ny) = (mn) y\)을 사용한다. 유클리드의 증명에서, \(n= 3\)이고 \(m= 2\)이다.
마지막 명제에서와 같이, 크기가 모두 같은 종류일 필요는 없다.
비록 이 명제가 실제로 비율에 대한 진술은 아니지만, 그것은 비율로 해석될 수 있다. \(\rm A\)와 \(\rm C\)가 \(\rm B\)와 \(\rm D\)의 같은 수의 곱이라는 가정은 \(\rm A : B = C : D\)의 비율로 해석될 수 있으며, \(m\rm A\)와 \(m\rm C\)가 \(\rm B\)와 \(\rm D\)의 같은 수의 곱이라는 결론은 \(m\rm A : B =\it m\rm C : D\)의 비율로 해석될 수 있다. 이러한 해석으로 보면 이 명제는 다음 명제의 특수한 경우가 되며 다음 명제의 일반적인 경우를 증명하는 데 사용되는 특수한 경우이다.