V 권
명제
여섯 개의 크기들에 대하여, 셋째 크기는 넷째 크기에 어떤 수의 곱이고, 첫째 크기는 둘째 크기에 대해 그것과 같은 어떤 수의 곱이라고 하자. 또한 여섯째 크기는 넷째 크기에 같은 다른 어떤 수의 곱이고, 다섯째 크기는 둘째 크기에 같은 다른 어떤 수의 곱이라고 하자. 그러면 셋째 크기와 여섯째 크기를 더한 것은 넷째 크기에 같은 어떤 수의 곱이고, 첫째 크기와 다섯 째 크기를 더한 것은 둘째 크기에 같은 다른 어떤 수를 곱한 것이다.
여섯 개의 크기 \(\overline{\rm AB}\), \(c\), \(\overline{\rm DE}\), \(f\), \(\overline{\rm BG}\), \(\overline{\rm EH}\)에 대하여, \(\overline{\rm AB}=kc\), \(\overline{\rm DE}=kf\), \(\overline{\rm BG}=k'c\), \(\overline{\rm EH}=k’f\)라고 하자. (단, \(k\), \(k’\)은 상수) 그러면 \(\overline{\rm AB}+\overline{\rm BG}=(k+k’)c\), \(\overline{\rm DE}+\overline{\rm EH}=(k+k')f\)이다.
첫째 크기를 \(\overline{\rm AB}\), 둘째 크기를 \(c\), 셋째 크기를 \(\overline{\rm DE}\), 넷째 크기를 \(f\), 다섯째 크기를 \(\overline{\rm BG}\), 여섯째 크기를 \(\overline{\rm EH}\)라고 하자. 상수 \(k\), \(k'\)에 대하여, \(\overline{\rm AB}=kc\), \(\overline{\rm DE}=kf\), \(\overline{\rm BG}=k'c\), \(\overline{\rm EH}=k'f\)라고 하자. [V권 정의 2]
그러면 세 점 \(\rm A\), \(\rm B\), \(\rm G\)가 한 직선 위에 있고, \(\overline{\rm AG}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BG}\)인 선분 \(\rm AG\)는 \(\overline{\rm AG}=(k+k')c\)이고, 세 점 \(\rm D\), \(\rm E\), \(\rm H\)이 한 직선 위에 있고, \(\overline{\rm DH}=\overline{\rm DE}+\overline{\rm EH}\)인 선분 \(\rm DH\)는 \(\overline{\rm DH}=(k+k')f\)임을 보이자.
\(\overline{\rm AB}=kc\)이고 \(\overline{\rm DE}=kf\)이므로, 서분 \(\rm AB\)는 크기가 \(c\)인 k개로 이루어져 있고, 선분 \(\rm DE\)도 크기가 \(f\)인 \(k\)개로 이루어져 있다. (그림에서는 \(k=3\)이다.)
같은 이유로, \(\overline{\rm BG}=k'c\)이고, \(\overline{\rm EH}=k'f\)이므로 선분 \(\rm BG\)는 크기가 \(c\)인 \(k'\)개로 이루어져 있고, 선분 \(\rm EH\)도 크기가 \(f\)인 \(k'\)개로 이루어져 있다.(그림에서는 \(k'=2\)이다.)
그러므로 선분 \(\rm AG\)는 크기가 \(c\)인 \(k+k'\)개로 이루어져 있고, 선분 \(\rm DH\)도 크기가 \(f\)인 \(k+k'\)개로 이루어져 있다.
따라서 \(\overline{\rm AG}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BG}=(k+k')c=kc+k'c\)이고, \(\overline{\rm DH}=\overline{\rm DE}+\overline{\rm EH}=kf+k'f=(k+k')f\)이다.
그러므로 여섯 개의 크기들에 대하여, 셋째 크기는 넷째 크기에 어떤 수의 곱이고, 첫째 크기는 둘째 크기에 대해 그것과 같은 어떤 수의 곱이라고 하자. 또한 여섯째 크기는 넷째 크기에 같은 다른 어떤 수의 곱이고, 다섯째 크기는 둘째 크기에 같은 다른 어떤 수의 곱이라고 하자. 그러면 셋째 크기와 여섯째 크기를 더한 것은 넷째 크기에 같은 어떤 수의 곱이고, 첫째 크기와 다섯 째 크기를 더한 것은 둘째 크기에 같은 다른 어떤 수를 곱한 것이다.
Q.E.D.
이 명제는 단순히 \(mc\)와 \(mf\)가 \(c\)와 \(f\)의 각각 같은 수의 곱이고 \(nc\)와 \(nf\)가 \(c\)와 \(f\)의 각각 같은 수의 곱이라면 \(mc + nc\)와 \(mf + nf\)의 합도 \(c\)와 \(f\)의 같은 수의 곱이다.
증명은 분배법칙의 형태, 즉 크기 곱셈의 덧셈에 대한 분배에 의존한다.
\((m+n)c=mc+nc\)
크기가 모두 같은 종류일 필요는 없다.
[V권 명제 2]는 다른 세 가지 명제, 즉 [V권 명제 3], [V권 명제 6], [V권 명제 17]의 증명에서 사용된다.