V 권
명제
네 개의 크기에 대하여, 첫 번째와 두 번째 크기의 비율이 세 번째와 네 번째 크기의 비율과 같다. 그러면 가장 큰 크기와 가장 작은 크기의 합의 크기는 나머지 두 크기의 합보다 크다.
네 개의 크기 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\), \(e\), \(f\)에 대하여, \({\overline{\rm AB}}:{\overline{\rm CD}}=e:f\)라고 하자. \(\overline{\rm AB}\)가 가장 크고, \(f\)가 가장 작다고 하자. 그러면 \({\overline{\rm AB}}+f>{\overline{\rm CD}}+e\)이다.
네 개의 크기 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\), \(e\), \(f\)에 대하여, \({\overline{\rm AB}}:{\overline{\rm CD}}=e:f\)라고 하자. \(\overline{\rm AB}\)가 가장 크고, \(f\)가 가장 작다고 하자.
그러면 \({\overline{\rm AB}}+f>{\overline{\rm CD}}+e\)임을 보이자.
\({\overline{\rm AG}}=e\)이고 \({\overline{\rm CH}}=f\)인 두 선분 \(\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm CH}\)를 그리자.
\({\overline{\rm AB}}:{\overline{\rm CD}}=e:f\)이고 \(e={\overline{\rm AG}}\), \(f={\overline{\rm CH}}\)이므로 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm AG}:\overline{\rm CH}\)이다. [V권 명제 7, V권 명제 11]
\(\overline{\rm AG}\)는 전체 \(\overline{\rm AB}\)의 부분이고, \(\overline{\rm CH}\)는 전체 \(\overline{\rm CD}\)의 부분이다. 그리고 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm AG}:\overline{\rm CH}\)이다.
그러므로 \(\left(\overline{\rm AB}-\overline{\rm AG}\right):\left(\overline{\rm CD}-\overline{\rm CH}\right)=\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}\)이다. 즉, \(\overline{\rm GB}:\overline{\rm HD}=\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}\)이다. [V권 명제 19]
그러나 \(\overline{\rm AB}>\overline{\rm CD}\)이므로 \(\overline{\rm GB}>\overline{\rm HD}\)이다. [V권 정의 5]
그리고 \(\overline{\rm AG}=e\)이고 \(\overline{\rm CH}=f\)이므로 \(\left(\overline{\rm AG}+f\right)=\left(\overline{\rm CH}+e\right)\)이다.
그리고 \(\overline{\rm GB}>\overline{\rm HD}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm AG}+f+\overline{\rm GB}>\overline{\rm CH}+e+\overline{\rm HD}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm AB}+f>\overline{\rm CD}+e\)이다.
그러므로 네 개의 크기에 대하여, 첫 번째와 두 번째 크기의 비율이 세 번째와 네 번째 크기의 비율과 같다. 그러면 가장 큰 크기와 가장 작은 크기의 합의 크기는 나머지 두 크기의 합보다 크다.
Q.E.D.
이 명제는 다음과 나타낼 수 있다.
\(w:x=y:z\)이고 \(w\)가 가장 크고, \(z\)가 가장 작은 크기라고 하자. 그러면 \(w+z>x+y\)이다.
증명은 다음과 같이 할 수 있다.
[V권 명제 19]에 의해서 \(w:x=y:z\)이면 \(\left(w-y\right):\left(x-z\right)=w:z\)이다. 그러나 \(w>x\)이므로 \(x-y>x-z\)이다. 따라서 \(w+z>x+y\)이다.
Q.E.D.