V 권
명제
여섯 개의 크기에 대하여, 첫 번째와 두 번째 크기의 비율은 세 번째와 네 번째 크기의 비율과 같고, 다섯 번째와 두 번째 크기의 비율은 여섯 번째와 네 번째 크기의 비율과 같다고 하자. 그러면 첫 번째와 다섯 번째 크기를 더한 크기와 두 번째 크기의 비율은 세 번째와 여섯 번째 크기를 더한 크기와 네 번째 크기와의 비율과 같다.
여섯 개의 크기 \(\overline{\rm AB}\), \(c\), \(\overline{\rm DE}\), \(f\), \(\overline{\rm BG}\), \(\overline{\rm EH}\)에 대하여, \({\overline{\rm AB}}:c={\overline{\rm DE}}:f\)이고 \({\overline{\rm BG}}:c={\overline{\rm EH}}:f\)이라고 하자. 그리고 \(\left({\overline{\rm AB}+\overline{\rm BG}}\right):c=\left({\overline{\rm DE}+\overline{\rm EH}}\right):f\)이다. 즉, \(\overline{\rm AG}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BG}\), \(\overline{\rm DH}=\overline{\rm DE}+\overline{\rm EH}\)이므로 \({\overline{\rm AG}}:c={\overline{\rm DH}}:f\)이다
여섯 개의 크기 \(\overline{\rm AB}\), \(c\), \(\overline{\rm DE}\), \(f\), \(\overline{\rm BG}\), \(\overline{\rm EH}\)에 대하여, \({\overline{\rm AB}}:c={\overline{\rm DE}}:f\)이고 \({\overline{\rm BG}}:c={\overline{\rm EH}}:f\)이라고 하자.
그러면 \(\left({\overline{\rm AB}+\overline{\rm BG}}\right):c=\left({\overline{\rm DE}+\overline{\rm EH}}\right):f\)임을 보이자. 즉, \(\overline{\rm AG}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BG}\), \(\overline{\rm DH}=\overline{\rm DE}+\overline{\rm EH}\)이므로 \({\overline{\rm AG}}:c={\overline{\rm DH}}:f\)임을 보이자.
\({\overline{\rm BG}}:c={\overline{\rm EH}}:f\)이므로 \(c:{\overline{\rm BG}}=f:{\overline{\rm EH}}\)이다. [V권 명제 7 따름 명제]
그런데 \({\overline{\rm AB}}:c={\overline{\rm DE}}:f\)이고 \(c:{\overline{\rm BG}}=f:{\overline{\rm EH}}\)이므로 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BG}=\overline{\rm DE}:\overline{\rm EH}\)이다. [V권 명제 22]
그리고 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BG}=\overline{\rm DE}:\overline{\rm EH}\)이면 \(\left(\overline{\rm AB}+\overline{\rm BG}\right):\overline{\rm GB}=\left(\overline{\rm DE}+\overline{\rm EH}\right):\overline{\rm HE}\)이다. [V권 명제 18] 그러므로 \(\overline{\rm AG}:\overline{\rm GB}=\overline{\rm DH}:\overline{\rm HE}\)이다.
\({\overline{\rm BG}}:c={\overline{\rm EH}}:f\)이므로 \({\overline{\rm AG}}:c={\overline{\rm DH}}:f\)이다. [V권 명제 22]
그러므로 여섯 개의 크기에 대하여, 첫 번째와 두 번째 크기의 비율은 세 번째와 네 번째 크기의 비율과 같고, 다섯 번째와 두 번째 크기의 비율은 여섯 번째와 네 번째 크기의 비율과 같다고 하자. 그러면 첫 번째와 다섯 번째 크기를 더한 크기와 두 번째 크기의 비율은 세 번째와 여섯 번째 크기를 더한 크기와 네 번째 크기와의 비율과 같다
Q.E.D.
이 명제는 좀 더 간단히 나타내면 다음과 같다.
\(u:v=w:x\)이고 \(y:v=z:x\)이면 \(\left(u+y\right):v=\left(w+z\right):x\)
이 명제의 증명은 다음과 같다.
\(y:v=z:x\)이면 \(v:y=x:z\)이다. \(u:v=w:x\)이고 \(v:y=x:z\)이므로 \(u:y=w:z\)이다. 따라서 \(\left(u+y \right):v=\left(w+z \right):z\)이다.
Q.E.D.