V 권
명제
세 개의 크기와 또 다른 세 개의 크기에 대하여, 첫 번째와 두 번째 크기 비율이 네 번째와 여섯 번째 크기의 비율이 같고, 두 번째와 세 번째 크기의 비율이 네 번째와 다섯 번째 크기의 비율과 같다고 하자. 그러면 첫 번째와 세 번째 크기의 비율은 네 번째와 여섯 번째 크기의 비율과 같다.
세 개의 크기 \(a\), \(b\), \(c\)와 또 다른 세 개의 크기 \(d\), \(e\), \(f\)에 대하여, \(a:b=e:f\)이고 \(b:c=d:e\)이면 \(a:c=d:f\)이다.
세 개의 크기 \(a\), \(b\), \(c\)와 또 다른 세 개의 크기 \(d\), \(e\), \(f\)에 대하여, \(a:b=e:f\)이고 \(b:c=d:e\)이다.
그러면 \(a:c=d:f\)임을 보이자. [V권 정의 18]
어떤 수 \(p\)에 대하여, \(g=p\cdot a\), \(h=p\cdot b\), \(k=p\cdot d\)이라고 하자. 그리고 다른 어떤 수 \(q\)에 대하여, \(l=q\cdot c\), \(m=q\cdot e\), \(n=q\cdot f\)이라고 하자.
그러므로 \(g=p\cdot a\), \(h=p\cdot b\)이므로 \(a:b=g:h\)이다. [V권 명제 15]
같은 이유로, \(m=q\cdot e\), \(n=q\cdot f\)이므로 \(e:f=m:n\)이다. 그러므로 \(g:h=m:n\)이다. [V권 명제 11]
다음으로 \(b:c=d:e\)이므로 \(b:d=c:e\)이다. [V권 명제 16]
\(h=p\cdot b\), \(k=p\cdot d\)이므로 \(b:d=h:k\)이다. [V권 명제 15]
그러나 \(b:d=c:e\)이다. 그러므로 \(h:k=c:e\)이다. [V권 명제 11]
다시, \(l=q\cdot c\), \(m=q\cdot e\)이므로 \(c:e=l:m\)이다. [V권 명제 15]
그러나 \(c:e=h:k\)이다. 그러므로 \(h:k=l:m\)이고 바꾼비례식이 성립하므로 \(h:l=k:m\)이다. [V권 명제 11, V권 명제 16]
그러나 역시 \(g:h=m:n\)임을 보였다.
그러므로 \(g:h=m:n\)이고 \(h:l=k:m\)이다. 그러므로 \(g>= < l\)이면 \(k > =< n\)이다. [V권 명제 21]
그런데 \(g=p\cdot a\), \(k=p\cdot d\)이고, \(l=q\cdot c\), \(n=q\cdot f\)이다.
그러므로 a:c=d:f이다. [V권 명제 5]
그러므로 세 개의 크기와 또 다른 세 개의 크기에 대하여, 첫 번째와 두 번째 크기 비율이 네 번째와 여섯 번째 크기의 비율이 같고, 두 번째와 세 번째 크기의 비율이 네 번째와 다섯 번째 크기의 비율과 같다고 하자. 그러면 첫 번째와 세 번째 크기의 비율은 네 번째와 여섯 번째 크기의 비율과 같다.
Q.E.D.
이 명제는 조금 더 간단하게 아래와 같이 증명을 할 수 있다.
\(a:b=e:f\)이고 \(b:c=d:e\)을 가정하고 \(a:c=d:f\)을 보여야 한다.
임의의 두 수 \(n\), \(m\)에 대하여, [V권 명제 15]에 의하여 \(a:b=na:nb\)이고 \(e:f=me:mf\)이다. 그러므로 [V권 명제 11]에 의하여 \(na:nb=me:mf\)이다. (마지막 두 명제는 [V권 명제 4]와 함께 짧게 할 수 있다.)
[V권 명제 16]에 의해서 \(b:c=d:e\)이면 \(b:d=c:e\)이다.
같은 이유로 \(nb:nd=b:d=c:e=mc:me\)이다. 그러므로 \(nb:mc=nd:me\)이다.
[V권 명제 21]에 의해서 \(nb:mc=nd:me\)이고 \(na:nb=me:mf\)이다. 따라서 \(na>= < mc\) 이면 \(nd>= < mf\)이다.
그러므로 \(a:c=d:f\)이다.
Q.E.D.