V 권
명제
임의 수의 개수 만큼 크기가 있고, 또 다른 크기가 같은 개수만큼 있다고 하자. 이들 크기 두 개씩 비율을 구할 수 있고, 그 비율이 순서대로 같다고 하자. 그러면 같은 위치에 있는 크기의 비율은 같다. 즉, 첫 째와 맨 마지막 비율이 같다.
어떤 크기들 \(a\), \(b\), \(c\)가 있고 또 같은 개수 만큼의 다른 크기 \(d\), \(e\), \(f\)가 있고, \(a:b=d:e\)이고 \(b:c=e:f\)이라고 하자. 그러면 \(a:c=d:f\)이다.
어떤 크기들 \(a\), \(b\), \(c\)가 있고 또 같은 개수 만큼의 다른 크기 \(d\), \(e\), \(f\)가 있고, \(a:b=d:e\)이고 \(b:c=e:f\)이라고 하자.
그러면 \(a:c=d:f\)임을 보이자. [V권 정의 17]
어떤 수 \(p\)에 대하여, \(g=p\cdot a\), \(h=p\cdot d\)이다. 그리고 어떤 수 \(q\)에 대하여, \(k=q\cdot b\), \(l=q\cdot e\)이다. 그리고 \(m=p\cdot c\), \(n=p\cdot f\)이다.
그러면 \(a:b=d:e\)이고, \(g=p\cdot a\), \(h=p\cdot d\)와 \(k=q\cdot b\), \(l=q\cdot e\)이므로 \(g:k=h:l\)이다.
같은 이유로 \(k:m=l:n\)이다.
그러므로 세 개의 크기 \(g\), \(k\), \(m\)과 또 다른 세 크기 \(h\), \(l\), \(n\)에 대하여, \(g:k=h:l\)과 \(k:m=l:n\)이다. 그러므로 \(g>=< m\)이면 \(h >= < n\)이다. [V권 명제 20]
그런데 \(g\), \(h\)는 \(g=p\cdot a\), \(h=p\cdot d\)이고, \(m\), \(n\)은 \(m=p\cdot c\), \(n=p\cdot f\)로 같은 어떤 수 \(p\)를 곱하여 진 것이다. 그러므로 \(a:c=d:f\)이다. [V권 정의 5]
그러므로 임의 수의 개수 만큼 크기가 있고, 또 다른 크기가 같은 개수만큼 있다고 하자. 이들 크기 두 개씩 비율을 구할 수 있고, 그 비율이 순서대로 같다고 하자. 그러면 같은 위치에 있는 크기의 비율은 같다. 즉, 첫 째와 맨 마지막 비율이 같다.
Q.E.D.
이 명제는 다음과 같이 현대적인 표현으로 나타낼 수 있다.
\(x_1\), \(x_2\), \(\cdots\), \(x_n\)과 \(y_1\), \(y_2\), \(\cdots\), \(y_n\)에 대하여, \(x_1 : x_2 = y_1 : y_2\) , \(x_2\ : x_3 = y_2 : y_3\), \(\cdots\), \(x_{n-1}:y_{n-1} = x_n:y_n\) 이면 \(x_1:x_n=y_1:y_n\)이다.
이 명제는 [V권 명제 20]을 이용하여 증명할 수 있다.
\(a:b=b:e\)이고 \(b:c=e:f\)라고 하자. 그러면 \(a:c=d:f\)를 보이면 된다.
[V권 명제 4]에 의하여, 어떤 수 \(n\), \(m\), \(k\)에 대하여 \(na:mb=nd:me\)이고 \(ma:kc=md:kf\)이다.
[V권 명제 20]에 의하여, \(na>=< kc\)이면 \(nd > = < kf\)이다.
그러므로 \(a:c=d:f\)이다. Q.E.D.
이 명제는 [V권 정의 5] 에 의해서, 매우 쉽게 직접 증명할 수도 있다.
[VII권 명제 14]가 수의 비율에 대한 유사한 명제이다. 이 명제는 [V권 명제 24] 와 VI권, X권, XII권의 여러 명제에서 사용되었다.