V 권
명제
세 개의 크기가 있고 또 다른 세 개의 크기가 있다. 그리고 그 두 개의 크기의 비율이 서로 엇갈려 있다고 하자. 그러면 첫 번째 크기가 세 번째 크기 보다 크면 네 번째 크기도 여섯 번째 크기보다 크고, 같으면 같고, 작으면 작다.
세 개의 크기 \(a\), \(b\), \(c\)와 또 다른 세 개의 크기 \(d\), \(e\), \(f\)에 대하여, \(a:b=e:f\)이고 \(b:c=d:e\)라고 하자. 그러면 \(a>= < c\)이면 \(d>= < f\)이다.
세 개의 크기 \(a\), \(b\), \(c\)와 또 다른 세 개의 크기 \(d\), \(e\), \(f\)에 대하여, \(a:b=e:f\)이고 \(b:c=d:e\)라고 하자.
그러면 \(a>= < c\)이면 \(d>= < f\)임을 보이자.
\(a>c\)이라고 하자.
크기 \(b\)에 대하여, \(a:b>c:b\)이다. [V권 명제 8]
그러나 \(a:b=e:f\)이고, \(b:c=d:e\)이므로 \(c:b=e:d\)이다. [V권 명제 7 따름 명제, V권 명제 13]
그런데 \(a:b=e:f\)이고 \(c:b=e:d\)이며, \(a:b>c:b\)이므로 \(e:f>e:d\)이다. [V권 명제 10] 따라서 f>d이다.
비슷한 방법으로 \(a=c\)이면 \(d=f\)인 것과 \(a< c\)이면 \(d < f\) 임을 보일 수 있다.
그러므로 세 개의 크기가 있고 또 다른 세 개의 크기가 있다. 그리고 그 두 개의 크기의 비율이 서로 엇갈려 있다고 하자. 그러면 첫 번째 크기가 세 번째 크기 보다 크면 네 번째 크기도 여섯 번째 크기보다 크고, 같으면 같고, 작으면 작다.
Q.E.D.
이 명제는 [V권 명제 23]을 증명하기 위해 필요하다. 이 명제와 [V권 명제 23] 모두 [V권 정의 4]를 비교가능성 공리 받아들여야 논리적 전개가 가능하다.