증명

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세 개의 크기 \(a\), \(b\), \(c\)와 또 다른 세 개의 크기 \(d\), \(e\), \(f\)에 대하여, \(a:b=d:e\), \(b:c=e:f\)라고 하자.

그러면 \(a>= < c\)이면 \(d > = < f\)임을 보이자.

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\(a>c\)이라고 하자. 크기 \(b\)에 대하여 \(a:b>c:b\)이다. [V권 명제 8]

조건에 의해서 \(a:b=d:e\)이며, \(b:c=e:f\)이므로 바뀐비가 성립하여 \(c:b=f:e\)이다. [V권 명제 7 따름 명제, V권 명제 13]

크기 \(d\), \(f\)에 대하여 크기 \(e\)에 대한 비율 \(d:e\)와 \(f:e\)는 \(a:b=d:e\)이고 \(c:b=f:e\)이며, \(a:b>c:b\)이므로 \(d:e>f:e\)이다. 따라서 \(d>f\)이다. [V권 명제 10]

비슷한 방법으로 \(a=c\)이면 \(d=f\)와 \(a< c\)이면 \(d < f\)임을 보일 수 있다.

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그러므로 세 개의 크기와 또 다른 세 개의 크기에 대하여, 이들 차례로 크기의 두 개씩의 비율이 같다고 하자. 그러면 첫 번째 크기가 세 번째 크기 보다 크면 네 번째 크기가 여섯 번째 크기보다 크고 같으면 같고, 작으면 작다.

Q.E.D.