V 권
명제
어떤 크기들이 몇 개 있고, 다른 어떤 크기들이 같은 개수만큼 있다. 어떤 크기들은 다른 어떤 크기들에 같은 개수를 곱해서 얻은 크기들이라 하자. 그러면 개수가 몇 개이든지 어떤 크기들을 모두 더한 것은 다른 어떤 크기들을 모두 더한 것에다가 그 개수를 곱해서 얻은 크기와 같다.
두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)와 두 수 \(e\), \(f\)는 어떤 수 \(k\)에 대하여 \(\overline{\rm AB}=ke\), \(\overline{\rm CD}=kf\)이라고 하면 \(\overline{\rm AB}+\overline{\rm CD}=k(e+f)\)이다.
두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)와 두 수 \(e\), \(f\)가 있다. 어떤 수 \(k\)에 대하여 \(\overline{\rm AB}=ke\), \(\overline{\rm CD}=kf\)이라고 하자. [V권 정의 2]
그러면 \(\overline{\rm AB}+\overline{\rm CD}=k(e+f)\)임을 보이자.
\(\overline{\rm CD}=kf\)인 것처럼 \(\overline{\rm AB}=ke\)이므로 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\) 각각 \(e\), \(f\)의 크기 만큼 \(k\)개 만큼 있다.
\(\rm AB\)를 \(\overline{\rm AG}=\overline{\rm GB}=e\)가 되도록 \(k\)개인 \(\rm AG\), \(\rm GB\)로 나누자. \(\rm CD\)를 \(\overline{\rm CH}=\overline{\rm HD}=f\)가 되도록 \(k\)개인 \(\rm CH\), \(\rm HD\)로 나누자. (그림에서는 \(k=2\)일 때이다.)
\(\overline{\rm AG}=e\), \(\overline{\rm CH}=f\)이므로 \(\overline{\rm AG}+\overline{\rm CH}=e+f\)이다.
같은 이유로, \(\overline{\rm GB}=e\), \(\overline{\rm HD}=f\)이므로 \(\overline{\rm GB}+\overline{\rm HD}=e+f\)이다.
따라서 임의의 \(k\)에 대하여 \(\overline{\rm AB}=ke\)이므로 \(\overline{\rm AB}+\overline{\rm CD}\)에는 \(e+f\)가 \(k\)만큼 들어 있다. 그러므로 \(\overline{\rm AB}+\overline{\rm CD}=k(e+f)\)이다.
그러므로 엇갈린 비례식이라는 것은 한 종류의 크기들이 여러 개가 일렬로 있고, 다른 종류의 크기들이 같은 개수만큼 일렬로 있고, 한 종류 첫째 크기와 둘째 크기의 비율이 다른 종류의 둘째 크기와 셋째 크기와 비율이 같고 한 종류의 둘째 크기와 셋째 크기의 비율이 다른 종류의 첫째 크기와 둘째 크기의 비율이 같다면 첫째 크기와 셋째 크기의 비율이 서로 같을 때이다.
Q.E.D.
현대적인 표현으로는 덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙이다. 즉,
실수 \(x_i\) (\(i=1\), \(2\), \(3\), \(\cdot\), \(n\))가 있다. 임의의 실수 m에 대하여,
\(m(x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_n )=mx_1 + mx_2 +mx_3 + cdots + mx_n\)
이 성립한다.
유클리드는 항상 크기의 크기를 선분으로 나타내지만, 예를 들어 평면에서의 넓이와 같은 다른 종류의 크기일 수 있다. 이 명제에서는 모든 크기가 같은 종류이다.
유클리드의 증명은 가장 간단한 자명하지 않은 경우로 증명하였다. 따라서 \(x_1 = m y_1\)이고 \(x_2 = m y_2\)이면 \(x_1 + x_2 = m(y_1 + y_2)\)임을 증명하였다. V권 내내, 유클리드는 특별한 경우를 통해 일반적인 수치적 사례로 증명한다. 그가 선택하는 숫자는 보통 \(2\)와 \(3\)이다.