V 권
명제
두 개의 전체 크기의 비와 각각 크기의 각 부분과의 비가 같으면, 각각의 나머지의 비와 전체 크기의 비가 같다.
두 개의 크기 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)와 \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm CD}\)의 일부를 각각 \(\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm CF}\)라 하자. 그러면 남은 크기 \(\overline{\rm EB}\), \(\overline{\rm FD}\)에 대하여, \(\overline{\rm AE}:\overline{\rm CF}=\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}\)이면 \(\overline{\rm EB}:\overline{\rm FD}=\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}\)이다.
두 개의 크기 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)와 \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm CD}\)의 일부를 각각 \(\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm CF}\)라 하자.
그러면 남은 크기 \(\overline{\rm EB}\), \(\overline{\rm FD}\)에 대하여, \(\overline{\rm AE}:\overline{\rm CF}=\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}\)이면 \(\overline{\rm EB}:\overline{\rm FD}=\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}\)임을 보이자.
\(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm AE}:\overline{\rm CF}\)이므로 교대한 비가 성립하므로 \(\overline{\rm BA}:\overline{\rm AE}=\overline{\rm DC}:\overline{\rm CF}\)이다. [V권 명제 16]
더한 비가 성립하면 뺀 비도 성립하므로, \(\overline{\rm BA}:\overline{\rm AE}=\overline{\rm DC}:\overline{\rm CF}\)이므로 \(\overline{\rm BE}:\overline{\rm EA}=\overline{\rm DF}:\overline{\rm CF}\)이다. [V권 명제 17] 또한 교대한 비가 성립하므로 \(\overline{\rm BE}:\overline{\rm DF}=\overline{\rm EA}:\overline{\rm FC}\)이다. [V권 명제 16]
그런데 가정에 의해서 \(\overline{\rm AE}:\overline{\rm CF}=\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}\)이다.
따라서 \(\overline{\rm EB}:\overline{\rm DF}=\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}\)이다.
그러므로 두 개의 전체 크기의 비와 각각 크기의 각 부분과의 비가 같으면, 각각의 나머지의 비와 전체 크기의 비가 같다.
Q.E.D.
네네 개의 크기 \(u\), \(v\), \(x\), \(y\)에 대하여, \((u-v):(x-y)=v:y\)이면 \(u:x=v:y\)이다.
이 명제는 ‘네 개의 크기 \(u\), \(v\), \(x\), \(y\)에 대하여, \((u+v):(x+y)=v:y\)이면 \(u:x=v:y\)이다.’와 같다.
이 명제의 크기는 모두 같은 종류여야 하지만 결과의 크기는 두 가지 다른 종류일 수 있다. 따라서 결과는 적절하지 않다. 그것은 따름 명제에 의해 앞의 두 명제로부터 뒤따르기 때문에 아마도 마지막 명제 다음에 와야 한다. 헤이베르그(Heiberg)와 히스(Heath)가 동의하는 것처럼, 그 결과는 아마도 헤론(Theon) 시대 이전에 보간 되었을 것으로 보인다.
이 명제는 [V권 명제 25]와 X권에서 여러 명제에 사용되었다. 결론은 VI권과 XIII권에서 각각 한 번씩 사용되었고, 그리고 X권에서 꽤 자주 사용된다.