증명

네 크기 \(\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm EB}\), \(\overline{\rm CF}\), \(\overline{\rm FD}\)에 대하여, \(\overline{\rm AE}:\overline{\rm EB}=\overline{\rm CF}:\overline{\rm FD}\)이라고 하자. [V권 정의15]

그러면 \(\left(\overline{\rm AE}+\overline{\rm EB}\right):\overline{\rm EB}=\left(\overline{\rm CF}+\overline{\rm FD}\right):\overline{\rm FD}\) 즉, \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm EB}=\overline{\rm CD}:\overline{\rm FD}\)임을 보이자.

\(\overline{\rm CD}:\overline{\rm DF}\ne \overline{\rm AB}:\overline{\rm BE}\)이라고 하자. 그러면 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BE}\)의 비와 같으려면 \(\overline{\rm CD}\)는 \(\overline{\rm DF}\)보다 큰 크기나 작은 크기와의 비를 비교를 하여야 한다.

1) 우선 \(\overline{\rm DF}\)보다 작은 크기 즉, \(\overline{\rm DG}< \overline{\rm DF}\)인 크기 \(\overline{\rm DG}\)에 대하여 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BE}=\overline{\rm CD}:\overline{\rm DG}\)라고 하자.

그러면 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BE}=\overline{\rm CD}:\overline{\rm DG}\)이면 \(\overline{\rm AE}:\overline{\rm EB}=\overline{\rm CG}:\overline{\rm GD}\)이다. [V권 명제 17]

그런데 가정에 의해서 \(\overline{\rm AE}:\overline{\rm EB}=\overline{\rm CF}:\overline{\rm FD}\)이므로 \(\overline{\rm CG}:\overline{\rm GD}=\overline{\rm CF}:\overline{\rm FD}\)이다. [V권 명제 11]

그런데 \(\overline{\rm CF}>\overline{\rm CF}\)이므로 \(\overline{\rm GD}>\overline{\rm FD}\)이다. [V권 명제 14]

그런데 \(\overline{\rm GD}< \overline{\rm FD}\)이므로 이것은 모순이다. 그러므로\(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BE}\)와 같은 비가 되려면 \(\overline{\rm CD}\)는 \(\overline{\rm FD}\)보다 작은 크기에서는 같은 비가 나올 수 없다.

2) 비슷한 방법으로 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BE}\)와 같은 비가 되러면 \(\overline{\rm CD}\)는 \(\overline{\rm FD}\) 보다 큰 크기에서 같은 비가 나올 수 없다는 것을 보일 수 있다.

그러므로 네 크기에 대하여, 첫 번째 크기와 두 번째 크기의 비가 세 번째 크기와 네 번째 크기의 비와 같으면 첫 번째와 두 번째 크기의 합과 두 번째 크기의 비는 세 번째와 네 번째 크기의 합과 네 번째 크기의 비와 같다.

Q.E.D.