증명

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네 개의 크기 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BE}\), \(\overline{\rm CE}\), \(\overline{\rm DF}\)에 대하여, \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BE}=\overline{\rm CD}:\overline{\rm DF}\)이라고 하자. [V권 정의 14]

그러면 \(\left(\overline{\rm AB}-\overline{\rm BE}\right):\overline{\rm BE}=\left(\overline{\rm CD}-\overline{\rm DF}\right):\overline{\rm DF}\)임을 보이자. 즉, \(\overline{\rm AE}:\overline{\rm EB}=\overline{\rm CF}:\overline{\rm DF}\)임을 보이자. [V권 정의 15]

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임의의 수 \(p\)에 대하여, \(\overline{\rm GH}=p\cdot \overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm HK}=p\cdot \overline{\rm EB}\), \(\overline{\rm LM}=p\cdot \overline{\rm CF}\), \(\overline{\rm MN}=p\cdot \overline{\rm FD}\)이라고 하자. 임의의 수 \(q\)에 대하여, \(\overline{\rm KO}=q\cdot \overline{\rm EB}\), \(\overline{\rm NP}=q\cdot \overline{\rm FD}\)이라고 하자.

그러면, \(\overline{\rm GH}=p\cdot \overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm HK}=p\cdot \overline{\rm EB}\)이므로 \(\overline{\rm GK}=\overline{\rm GH}+\overline{\rm HK}=p\cdot \overline{\rm AE}+p\cdot\overline{\rm EB}=p\cdot \left(\overline{\rm AE}+\overline{\rm EB}\right)=p\cdot \overline{\rm AB}\)이다.

따라서 \(\overline{\rm GK}=p\cdot \overline{\rm AB}\)이다. [V권 명제 1]

그런데 \(\overline{\rm GH}=p\cdot\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm LM}=p\cdot\overline{\rm CF}\)이므로 \(\overline{\rm GK}=p\cdot\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm LM}=p\cdot\overline{\rm CF}\)이다.

또한 \(\overline{\rm LM}=p\cdot\overline{\rm CF}\), \(\overline{\rm MN}=p\cdot\overline{\rm FD}\)이므로 \(\overline{\rm LN}=\overline{\rm LM}+\overline{\rm MN}=p\cdot\overline{\rm CF}+p\cdot\overline{\rm FD}=p\cdot\left(\overline{\rm CF}+\overline{\rm FD}\right)=p\cdot\overline{\rm CD}\)이다. 즉, \(\overline{\rm LN}=p\cdot \overline{\rm CD}\)이다. [V권 명제 1]

그런데 \(\overline{\rm LM}=p\cdot\overline{\rm CF}\), \(\overline{\rm GK}=p\cdot\overline{\rm AB}\)이므로 \(\overline{\rm GK}=p\cdot\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm LN}=p\cdot\overline{\rm CD}\)이다.

그러므로 \(\overline{\rm GK}:\overline{\rm LN}=\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}\)이다.

다시, \(\overline{\rm HK}=p\cdot\overline{\rm EB}\), \(\overline{\rm MN}=p\cdot\overline{\rm FD}\)이다. 그리고 \(\overline{\rm KO}=q\cdot\overline{\rm EB}\), \(\overline{\rm NP}=q\cdot\overline{\rm FD}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm HO}=\overline{\rm HK}+\overline{\rm KO}=p\cdot \overline{\rm EB}+q\cdot \overline{\rm EB}=\left(p+q\right)\cdot\overline{\rm EB}\) 즉, \(\overline{\rm HO}=\left(p+q\right)\cdot\overline{\rm EB}\)이므로 \(\overline{\rm MP}=\overline{\rm MN}+\overline{\rm NP}=p\cdot\overline{\rm FD}+q\cdot\overline{\rm FD}=\left(p+q\right)\cdot\overline{\rm FD}\) 즉, \(\overline{\rm MP}=\left(p+q\right)\cdot\overline{\rm FD}\)이다. [V권 명제 2]

\(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BE}=\overline{\rm CD}:\overline{\rm DF}\)이고, \(\overline{\rm GK}=p\cdot\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm LN}=p\cdot\overline{\rm CD}\)이고 \(\overline{\rm HO}=\left(p+q\right)\cdot\overline{\rm EB}\), \(\overline{\rm MP}=\left(p+q\right)\cdot\overline{\rm FD}\)이다.

따라서 \(\overline{\rm GK}>=< \overline{\rm HO}\)이면 \(\overline{\rm LN}>=< \overline{\rm MP}\)이다.

GK>HO이라고 하자. 그러면 \(\left(\overline{\rm GK}-\overline{\rm HK}\right)>\left(\overline{\rm HO}-\overline{\rm HK}\right)\)이고 이를 간단히 하면 \(\overline{\rm GH}>\overline{\rm KO}\)이다.

그런데 \(\overline{\rm GK}>\overline{\rm HO}\)이면 \(\overline{\rm LN}>\overline{\rm MP}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm GK}>\overline{\rm HO}\)이면 \(\overline{\rm LN}>\overline{\rm MP}\)이다.

또한 \(\overline{\rm LN}>\overline{\rm MP}\)이다. 양변에 \(\overline{\rm MN}\)을 빼자. \(\left(\overline{\rm LN}-\overline{\rm MN}\right)>\left(\overline{\rm MP}-\overline{\rm MN}\right)\)이고 이를 간단히 하면 \(\overline{\rm LM}>\overline{\rm NP}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm GH}>\overline{\rm KO}\)이면 \(\overline{\rm LM}>\overline{\rm NP}\)이다.

같은 방법으로 \(\overline{\rm GH}=\overline{\rm KO}\)이면 \(\overline{\rm LM}=\overline{\rm NP}\)임을 보일 수 있다. 또한 \(\overline{\rm GH}< \overline{\rm KO}\)이면 \(\overline{\rm LM}< \overline{\rm NP}\)임을 보일 수 있다.

따라서 \(\overline{\rm GH}=p\cdot \overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm LM}=p\cdot \overline{\rm CF}\)이고, \(\overline{\rm KO}=q\cdot \overline{\rm EB}\), \(\overline{\rm NP}=q\cdot \overline{\rm FD}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm AE}:\overline{\rm EB}=\overline{\rm CF}:\overline{\rm FD}\)이다. [V권 정의 4]

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그러므로 어떤 네 개의 크기에 대하여, 첫 번째와 두 번째 크기를 더한 크기와 두 번째 크기의 비율은 세 번째 크기와 네 번째 크기를 더한 크기와 네 번째 크기의 비율을 같으면, 첫 번째 크기와 두 번째 크기에서 두 번째 크기를 뺀 크기와 두 번째 크기의 비율은 세 번째 크기와 네 번째 크기를 더한 크기에서 네 번째 크기를 뺀 크기와 네 번째 크기의 비율이 같다. 즉, 첫 번째와 두 번째 크기의 비율은 세 번째와 네 번째 크기의 비율이 같다.

Q.E.D.