증명

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네 개의 크기 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)가 \(a:b=c:d\)이다.

그러면 a:c=b:d임을 보이자.

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임의의 수 \(p\)에 대하여, \(e=p\cdot a\), \(f=p\cdot b\)이고, 임의의 수 \(q\)에 대하여, \(g=q\cdot c\), \(h=q\cdot d\)이라 하자. [V권 정의 12]

따라서 \(e\)와 \(f\)는 같은 수 \(p\)를 곱한 \(e=p\cdot a\), \(f=p\cdot b\)이므로, 부분의 비율과 전체 비율은 같다.

따라서 \(a:b=e:f\)이다. [V권 명제 15]

그러나 \(a:b=c:d\)이므로 \(c:d=e:f\)이다. [V권 명제 11]

임의의 수 \(q\)에 대하여, \(g=q\cdot c\), \(h=q\cdot d\)이다. 따라서 \(c:d=g:h\)이다. [V권 명제 15]

그런데 \(c:d=e:f\)이므로 \(e:f=g:h\)이다. [V권 명제 11]

그러나 네 개의 크기 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여, \(a:b=c:d\)이다. 이때 \(a>=< c\)이면 \(b>=< d\)이다. [V권 명제 14]

그러므로 \(e>=< g\)이면 \(f>=< h\)이다.

임의의 수 \(p\)에 대하여, \(e=p\cdot a\), \(f=p\cdot b\)이고, 임의의 수 \(q\)에 대하여, \(g=q\cdot c\), \(h=q\cdot d\)이다. 그러므로 \(a:c=b:d\)이다.

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그러므로 네 개의 크기에 대하여, 첫 번째 크기와 두 번째 크기의 비율이 세 번째 크기와 네 번째 크기의 비율이 같으면 첫 번째 크기와 세 번째 크기의 비율이 두 번째 크기와 네 번째 크기의 비율과 같다.

Q.E.D.