증명

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네 개의 크기 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm DE}\), \(c\), \(f\)가 있다. 임의의 \(p\)에 대하여, \(\overline{\rm AB}=p\cdot c\), \(\overline{\rm DE}=p\cdot f\)이라고 하자.

그러면 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm DE}=c:f\)를 보이자.

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\(\overline{\rm AB}=p\cdot c\), \(\overline{\rm DE}=p\cdot f\)인 것 처럼 \(\overline{\rm AB}\)를 동일한 크기 \(c\)인 \(p\)개로 나눌 수 있듯이 \(\overline{\rm DE}\)도 동일한 크기 \(c\)인 \(p\)개로 나눌 수 있다.

(\(p=3\) 일 때이다.) \(\overline{\rm AB}\)를 \(\overline{\rm AG}=\overline{\rm GH}=\overline{\rm HB}=c\)인 \(\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm GH}\), \(\overline{\rm HB}\)로 나누었다. 그리고 \(\overline{\rm DE}\)도 \(\overline{\rm DK}=\overline{\rm KL}=\overline{\rm LE}=f\)인 \(\overline{\rm DK}\), \(\overline{\rm KL}\), \(\overline{\rm LE}\)로 나누었다. 그러면 나누어진 \(\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm GH}\), \(\overline{\rm HB}\)의 개수와 \(\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm KL}\), \(\overline{\rm LE}\)의 개수가 같다.

\(\overline{\rm AG}=\overline{\rm GH}=\overline{\rm HB}\)이고 \(\overline{\rm DK}=\overline{\rm KL}=\overline{\rm LE}\)이므로 \(\overline{\rm AG}:\overline{\rm DK}=\overline{\rm GH}:\overline{\rm KL}=\overline{\rm HB}:\overline{\rm LE}\)이다. [V권 명제 7]

그러므로 [V권 명제 12]에 의해서 \(\overline{\rm AG}:\overline{\rm DK}=\left(\overline{\rm AG}+\overline{\rm GH}+\overline{\rm HB}\right):\left(\overline{\rm DK}+\overline{\rm KL}+\overline{\rm LE}\right)\)이다. 따라서 \(\overline{\rm AG}:\overline{\rm DK}=\overline{\rm AB}:\overline{\rm DE}\)이다.

그런데 \(\overline{\rm AG}=c\), \(\overline{\rm DK}=f\)이므로 \(c:f=\overline{\rm AB}:\overline{\rm DE}\)이다.

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그러므로 어떤 두 개의 크기의 비율을 각 크기를 크기가 같은 임의의 개수로 나누자. 그러면 각각 나누어진 한 개의 크기의 비율은 어떤 두 크기의 비율과 같다.

Q.E.D.