V 권
명제
첫 번째 크기와 두 번째 크기의 비율이 세 번째 크기와 네 번째 크기의 비율과 같다. 이때, 첫 번째 크기가 세 번째 크기보다 크면 두 번째 크기는 네 번째 크기보다 크며, 같으면 같고, 작으면 작다.
네 개의 크기 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여, \(a:b=c:d\)이다. 이때 \(a>=< c\)이면 \(b>=< d\)이다.
네 개의 크기 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여, \(a:b=c:d\)이다. 이때 \(a>c\)라고 하자.
그러면 \(b>d\)임을 보이자.
\(a>c\)이고 \(b\)는 어떤 크기이므로 \(a+b>c+b\)이다. [V권 명제 8]
\(a:b=c:d\)이므로 \(c:d>c:b\) [V권 명제 13]
\(c:d/ㅜㄷ c:b\)이므로 \(d< b\)이다. 즉, \(b>d\)이다. [V권 명제 10]
같은 방법으로 \(a=c\)이면 \(b=d\)이고 \(a< c\)이면 \(b< d\)임을 보일 수 있다.
그러므로 첫 번째 크기와 두 번째 크기의 비율이 세 번째 크기와 네 번째 크기의 비율과 같다. 이때, 첫 번째 크기가 세 번째 크기보다 크면 두 번째 크기는 네 번째 크기보다 크며, 같으면 같고, 작으면 작다.
Q.E.D.
이 명제는 [V권 정의 5]의 비율에 대한 정의를 포함한다. 즉, \(a:b=c:d\)의 의미는 어떤 \(n\), \(m\)에 대하여 \(na>=< mb\)이면 \(nc>=< md\)에서 \(n=m=1\)일때이다.
이 명제는 [V권 명제 16] 과 V권, VI권, X권, XII권, XIII권의 여러 곳의 명제에서 사용된다.