V 권
명제
여섯 개의 크기에 대하여 첫 번째 크기와 두 번째 크기의 비율은 세 번째 크기와 네 번째 크기의 비율과 같고 세 번째 크기와 네 번째 크기의 비율이 다섯 번째 크기와 여섯 번째 크기의 비율 보다 크면 첫 번째 크기와 두 번째 크기의 비율도 다섯 번째 크기와 여섯 번째 크기의 비율 보다 크다.
여섯 개 크기 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\),\(e\), \(f\)에 대하여 \(a:b=c:d\)이고 \(c:d>e:f\)이면 \(a:b>e:f\)이다.
여섯 개 크기 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\),\(e\), \(f\)에 대하여 \(a:b=c:d\)이고 \(c:d>e:f\)이라고 하자.
그러면 \(c:d>e:f\)이면 \(a:b>e:f\)임을 보이자.
\(g=p\cdot c\), \(k=q\cdot d\)이고 \(h=p\cdot e\), \(l=q\cdot f\)이며 \(h< g\), \(l< k\)이게 만들 수 있다. [5권 정의 7]
같은 수 \(p\)에 대하여 \(g=p\cdot c\), \(h=p\cdot e\)이고, 같은 수 \(q\)에 대하여 \(k=q\cdot d\), \(l=q\cdot f\)이다. 그리고 \(g>k\)이지만 \(h< l\)이라고 하자. 수 \(p\)에 대하여 \(m=p\cdot a\)이고, \(k=q\cdot d\)인 수 \(q\)에 대하여 \(n=q\cdot b\)이라고 하자.
\(a:b=c:d\)이고 \(m=p\cdot a\), \(g=p\cdot c\)이고, \(n=q\cdot b\), \(k=q\cdot d\)이다. 그러므로 \(m>=< n\)이면 \(g>=< k\)이다. [V권 정의 5]
그런데 \(g>k\)이다. 그러므로 \(m>n\)이다.
그런데 \(h< l\)이다. \(m=p\cdot a\), \(h=p\cdot e\)이고 \(n=q\cdot b\), \(l=q\cdot f\)이므로 \(a:b>e:f\)이다. [V권 정의 7]
그러므로 여섯 개의 크기에 대하여 첫 번째 크기와 두 번째 크기의 비율은 세 번째 크기와 네 번째 크기의 비율과 같고 세 번째 크기와 네 번째 크기의 비율이 다섯 번째 크기와 여섯 번째 크기의 비율 보다 크면 첫 번째 크기와 두 번째 크기의 비율도 다섯 번째 크기와 여섯 번째 크기의 비율 보다 크다.
Q.E.D.
두 크기 \(a\)와 \(b\), 두 크기 \(c\)와 \(d\), 두 크기 \(e\)와 \(f\)는 각각 같은 종류의 크기어야 한다.