증명

---

여섯 개 크기 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\),\(e\), \(f\)에 대하여 \(a:b=c:d=e:f\)이라고 하자.

그러면 \(a:b=(a+c+e):(b+d+f)\)임을 보이자.

---

\(g=p\cdot a\), \(l=q\cdot b\)이고 \(h=p\cdot c\), \(m=q\cdot d\)이며 \(k=p\cdot e\), \(h=q\cdot f\)이라고 하자.

\(a:b=c:d=e:f\)이고, \(g=p\cdot a\), \(h=p\cdot c\), \(k=p\cdot e\)이다. 또한 \(l=q\cdot b\), \(m=q\cdot d\), \(h=q\cdot f\)이다. 그러므로 \(g>= < l\), \(h>=< m\), \(k>=< m\)이다. [V권 정의 5]

크기 \(p\)에 대하여 \(g=p\cdot a\), \(g+h+k=p\cdot (a+c+e)\)이다. 왜냐하면 두 수 \(\rm AB\), \(\rm CD\)와 두 수 \(e\), \(f\)는 어떤 수 \(k\)에 대하여 \(\rm AB \it=k\cdot e\), \(\rm CD\it =k\cdot f\)이라고 하면 \(\rm AB+CD=\it k\cdot(e+f)\)이기 때문이다. [V권 명제 1]

같은 이유로, 크기 \(q\)에 대하여, \(l=q\cdot b\), \(l+m+h=q\cdot(b+d+f)\)이다. 그러므로 \(a:b=(a+c+e):(b+d+f)\)이다. [V권 정의 5]

---

그러므로 여러 개의 여러 크기들이 서로 비례한다고 하자. 앞의 크기 모두를 더한 것과 뒤의 크기를 모두 더한 것의 비율도 그 비율과 같다.

Q.E.D.