V 권
명제
두 비율이 어떤 비율과 같으면 그 두 비율은 서로 같다.
여섯 개 크기 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\),\(e\), \(f\)에 대하여 \(a:b=c:d\)이고 \(c:d=e:f\)이면 \(a:b=e:f\)이다.
\(a:b=c:d\)이고 \(c:d=e:f\)이라고 하자.
그러면 a:b=e:f이라는 것을 보이자.
어떤 \(p\)에 대하여 \(g\), \(h\), \(k\)를 \(g=p\cdot a\), \(h=p\cdot c\), \(k=p\cdot e\)이라고 하고, 또한 어떤 \(q\)에 대하여 \(l=q\cdot b\), \(m=q\cdot d\), \(n=q\cdot f\)이라고 하자. [V권 정의 5]
\(a:b=c:d\)이고 \(g=p\cdot a\), \(h=p\cdot c\)이다. 그리고 \(l=q\cdot b\), \(m=q\cdot d\)이다. 그러므로 \(g>= < l\)이면 \(h > = < m\) 이다.
\(c:d=e:f\)이고, \(h=p\cdot c\), \(k=p\cdot e\)이다. 그리고 \(m=q\cdot d\), \(n=q\cdot \)이다. 그러므로 \(h>= < m\)이면 \(k>= < n\)이다.
\(g>= < l\)이면 \(h>=< m\)이고 \(h>=< m\)이면 \(k>=< n\)임을 보였다. 따라서 \(g>=< l\)이면 \(k>=< n\)이다. [V권 정의 5]
\(g=p\cdot a\), \(k=p\cdot e\)이고 \(l=q\cdot b\), \(n=q\cdot f\)이다. 따라서 \(a:b=e:f\)이다. [V권 정의 5]
그러므로 두 비율이 어떤 비율과 같으면 그 두 비율은 서로 같다.
Q.E.D.
이 명제는 비율에 적용될 때 동일하다는 관계의 전이성을 표현한 것이다. 이 명제(그리고 반사율과 대칭의 성질은 쉽게 증명된다. 그리고 V권 정의 6에 대한 부연설명을 참조하여라), 두 비율이 같다"는 같다는 표현을 정당화한다. 증명은 정의에서 직접 따라온다. 주목할 만한 것은 에우독소스, 즉 유클리드가 이 명제가 증명될 필요가 있다는 것을 인식했다는 것이다.
\(a\)와 \(b\)는 같은 종류의 크기이고, \(c\)와 \(d\)가 같은 종류의 크기이며, \(e\)와 \(f\)가 같은 종류의 크기이어야 한다.
이 명제는 비율을 사용할 때마다 매우 자주 사용된다.