V 권
명제
두 개의 크기의 어떤 크기에 대한 두 비율이 큰 비율이 더 크면 큰 비율의 크기가 더 크다. 또한 어떤 크기에 대한 두 개의 크기의 비율이 더 작은 비율의 크기가 더 크다.
두 크기 \(a\), \(b\)는 임의의 \(c\)에 대하여 \(a:c>b:c\)이면 \(a>b\)이다. 또한 \(c:a< c:b\)이면 \(a>b\)이다.
\(a:c>b:c\)이라고 하자.
그러면 \(a>b\)를 보이자.
결론을 부정하자. 즉, \(a\not >b\)이라고 하자.
따라서 \(a=b\) 또는 \(a< b\)이다.
\(a=b\)이면 \(a:c=b:c\)이다. [V권 명제 7] 그런데 \(a:c\ne b:c\)이므로 \(a\ne b\)이다.
그리고 \(a< b\)이면 \(a:c< b:c\)이다. [V권 명제 8] 그런데 \(a:c\not < b:c\)이므로 \(a\not < b\)이다.
그런데 \(a\ne b\)과 \(a\ne b\)임을 보였다. 따라서 \(a>b\)이다.
다음으로 \(c:a< c:b\)이라고 하자.
그러면 \(a>b\)를 보이자.
결론을 부정하자. 즉, \(a\not > b\)이라고 하자.
따라서 \(a=b\) 또는 \(a< b\)이다.
\(a=b\)이면 \(c:a=c:b\)이다. [V권 명제 7] 그런데 \(c:a\ne c:b\)이므로 \(a\ne b\)이다.
그리고 \(a< b\)이면 \(c:a>c:b\)이다. [V권 명제 8] 그런데 \(a:c\not > b:c\)이므로 \(a\not < b\)이다.
그런데 \(a\ne b\)과 \(a\not < b\)임을 보였다. 따라서 \(a>b\)이다.
그러므로 두 개의 크기의 어떤 크기에 대한 두 비율이 큰 비율이 더 크면 큰 비율의 크기가 더 크다. 또한 어떤 크기에 대한 두 개의 크기의 비율이 더 작은 비율의 크기가 더 크다.
Q.E.D.
비율에 대한 삼중률이 이 증명에서 사용되었다. 이 것은 \(a : c < b : c\) 또는 \(a : c = b : c\) 또는 \(a : c > b : c\)의 세 가지 경우 중 최대 하나가 참이라는 것이다.
유클리드의 증명은 [V권 정의 4]를 비교 가능성의 공리로 사용하여 증명을 하였다. 그 이유는 [V권 명제 8]이 명제와 비율에 대한 삼중률을 사용하기 때문이다. 그러나 명제는 공리 없이도 증명될 수 있다.
\(a : c > b : c\)라고 가정하자. \(na > mc\)이지만 \(nb \not > mc\)인 수 \(m\)과 \(n\)이 있다. 따라서 \(na > nb\)이다. 따라서 \(a > b\)이다.. 따라서 \(a : c > b : c\)는 \(a > b\)이다.
명제 \(c:a < c:b\)이면 \(a>b\)인 것도 유사하게 증명될 수 있다.
이 명제는 [V권 명제 14]에서 처음 사용되며 V권에서 몇 번 사용된다.