V 권
정의
네 개의 크기가 있고, 첫째 크기와 셋째 크기에 같은 수를 곱하고, 둘째 크기와 넷째 크기에 다른 같은 수를 곱하자. 첫째 크기의 곱이 둘째 크기의 곱보다 크고 셋째 크기의 곱이 넷째 크기의 곱보다 작다고 하자. 그러면 ‘첫째 크기와 둘째 크기의 비율이 셋째 크기와 넷째 크기의 비율보다 크다’라고 한다.
네 개의 수 \(w\), \(x\), \(y\), \(z\)에 대하여, \(nw > mx\)이지만 \(ny < mz\)인 크기수 \(n\), \(m\)이 존재할 때 \(w:x > y:z\)라고 한다.
크거나 작게 정의할 때 확인해야 하는 속성이 많이 있다. 이것들은 다크기한 전이성과 삼분논법의 법칙이며 크기가 더 크거나 작거나 같은 속성 중 일부이다.
\(u : v < w : x\)이고 \(w : x = y : z\)이면 \(u : v < y : z\)이다.
\(u : v = w : x\)이고 \(w : x < y : z\)이면 \(u : v < y : z\)이다.
\(u : v < w : x\)이고 \(w : x < y : z\)이면 \(u : v < y : z\)이다.
유클리드는 오직 첫 번째 성질, 즉 [V권 명제13]을 원론에 수록하였다. 이것의 증거는 오직 정의에 달려있다. 두 번째는 언급하지 않을 정도로 첫 번째 성질과 매우 비슷하다. 세 번째 것은 증명하기가 매우 쉽다.