V 권
정의
네 개의 크기가 있는데, 첫째 크기와 셋째 크기에 같은 어떤 수를 곱하고, 둘째 크기와 넷째 크기에 같은 다른 어떤 수를 곱 하였을 때, 어떤 수를 곱한 첫째 크기와 셋째 크기는 다른 어떤 수를 곱한 둘째 크기와 넷째 크기보다 각각 더 크거나, 같거나, 작게 되었을 때, 첫째 크기와 둘째 크기의 비율과 셋째 크기와 넷째 크기의 ‘비율이 같다’라고 한다.
네 수 \(x\), \(y\), \(z\), \(w\)에 대하여, 두 비율 \(w:x\)와 \(y:z\) 그리고 모든 두 크기수 \(n\), \(m\)에 대하여, \(nw> mx\)이면 \(ny>mz\)이고, \(nw=mx\)이면 \(ny=mz\)이며, \(nw < mx\)이면 \(ny < mz\)이 모두 성립할 때, 두 비율 \(w:x\)와 \(y:z\)은 같다라하고 즉, \(w:x=y:z\)라고 표기한다.
어떤 크기들의 비율이 같으면 서로 ‘비례한다’라고 한다.
'모든 두 크기수 \(n\), \(m\)에 대하여, \(nw> mx\)이면 \(ny>mz\)이고, \(nw=mx\)이면 \(ny=mz\)이며, \(nw < mx\)이면 \(ny < mz\)이다'를 '모든 두 크기수 \(n\), \(m\)에 대하여 \(nw >=< mx\) 이면 \(ny >=< mz\)이다'로 나타낸다.
모든 두 크기수 \(n\), \(m\)에 대하여, \(nw >=< mx\) 이면 \(ny >=< mz\)이 성립할 때 \(w:w=y:z\)이라고 한다.
대부분의 경우 1은 '원론'에서 수로 간주되지 않으며 이러한 경우에 \(2\)가 가장 작은 수이다. 그러나 때때로 \(1\)이 수로 간주되어 사용된다. 예를 들어, '원론'에서 '\(a:b=c:d\)이고 \(a >=< b\)이면 \(c>=< d\)이다'라는 명제가 자주자주 사용된다. 이것은 단지 비율의 정의에서 \(m\)과 \(n\)이 모두 1일 때 뿐이다.