부연설명

한 크기에 어떠한 수를 곱하여 다른 크기 보다 커지게 할 수 있을 때, 비교 가능한 크기의 비율의 존재를 제한한다. 한 크기의 크기가 너무 작거나 다른 크기의 배수가 다른 크기을 초과할 수 없을 때 비율은 존재하지 않는다. 이 정의는 무한 직선에 대한 유한 직선의 비율과 무한 직선에 대한 무한 직선의 비율은 제외한다.

[III권 명제 16]의 뿔 각(horn angle)에 대한 결과는 뿔 각과 직선 각(rectilinear) 사이의 비율은 제외한다. 이 명제는 뿔 각이 직선 각 보다 작으므로 뿔 각의 배수는 직선 각보다 크지 않다고 명시한다. 하지만, 뿔 각의 크기가 서로 다른 뿔 각과 비교조차 되지 않기 때문에 뿔 각은 그것보다 훨씬 더 심각하다.

이 정의는 정의라기보다는 크기에 대한 공리로 반복적으로 사용된다. 이 명제는 이 책에서 자주 사용되며, [V권 명제 8] 부터 사용되기 시작하지만 보다 근본적인 속성과 중요한 [X권 명제 1]과 같은 다른 책의 명제에서도 필요하다. 이 명제의 증명에서 한 크기는 다른 크기보다 작으며, 작은 것의 몇 배는 큰 것보다 크다고 주장한다. 유클리드는 뿔 각을 제외하고 그가 논의한 크기가 모두 비슷하다고 암묵적으로 가정하였다. 직선, 직각, 평면 도형 및 입체는 모두 같은 유형의 다른 것과 비교할 수 있다.