V 권
정의
같은 위치에 있는 크기들의 비례식이라는 것은 한 종류의 크기들이 여러 개가 일렬로 있고, 다른 종류의 크기들이 같은 개수만큼 일렬로 있고, 한 종류와 다른 종류에서 같은 순서에 맞게 선택한 모든 두 개의 크기들의 비율이 같은 때, 한 종류의 크기들의 첫째 크기와 마지막 크기 비율과 다른 종류의 첫째 크기와 마지막 크기의 비율이 같을 때이다.
같은 위치에 있는 크기들이 비례식 \(a:b:c=d:e:f\)은 \(a:b=d:e\) 그리고 \(b:c=e:f\) 이면 \(a:c=d:f\)일 때를 말한다.
엇갈린 비례식이라는 것은 한 종류의 크기들이 여러 개가 일렬로 있고, 다른 종류의 크기들이 같은 개수만큼 일렬로 있고, 한 종류 첫째 크기와 둘째 크기의 비율이 다른 종류의 둘째 크기와 셋째 크기와 비율이 같고 한 종류의 둘째 크기와 셋째 크기의 비율이 다른 종류의 첫째 크기와 둘째 크기의 비율이 같다면 첫째 크기와 셋째 크기의 비율이 서로 같을 때이다.
엇갈린 비례식은 \(g:h=m:n\)이고 \(h:k=l:m\)이면 \(g:k=l:n\)일 때이다.
정의 17은 만약 \(a : b = d : e\), 그리고 \(b : c = e : f\)이면, [V권 명제22에서 보인 것 처럼, 같은 위치에 있는 크기들이 비율 \(a : c = d : f\)이다.
VII권에서는 [VI권 명제 33]에 세 가지 항의 비율이 사용되었다. 이 명제에서는 어떤 비율 \(a : b : c = e : f : g\)가 표시되어 있다. 이 다단계 비율은 두 비율 \(a : b = e : f와 b : c = f : g\)의 축약으로 해석해야 한다. 그리고 나서 그것은 \(a : c = e : g\)인 같은 위치에 있는 크기들의 비례식이 유도된다.
정의 18은 \(g\), \(h\), \(k\)와 \(l\), \(m\), \(n\)에 대하여 \(g : h = m : n\), 그리고 \(h : k = l : m\)이면, \(g : k = l : n\)과 같이 엇갈린 비율이 유지된다.