증명

---

주어진 정사각형 \(\rm ABCD\)가 있다.

그러면 정사각형 \(\rm ABCD\)에 외접하는 원을 그릴 수 있음을 보이자.

---

주어진 정사각형 \(\rm ABCD\)가 있다.

두 선분 \(\rm AC\), \(\rm BD\)를 그리자. 이 두 선분의 교점을 \(\rm E\)라고 하자.

두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm ADC\)는 \(\overline{\rm DA}=\overline{\rm AB}\)이므로 \(\overline{\rm DA}=\overline{\rm BA}\)이고, \(\overline{\rm AC}\)는 공통이며, 두 분기선 \(\rm DC\), \(\rm BC\)는 \(\overline{\rm DC}=\overline{\rm BC}\)이므로 합동(SSS 합동)이다. 따라서 두 대응하는 각인 각 \(\rm DAC\), 각 \(\rm BAC\)는 \(\angle\rm DAC=\angle\rm BAC\)이다. [I권 명제 8]

그러므로 각 \(\rm DAB\)는 선분 \(\rm AC\)에 의해서 각이 이등분 된다.

같은 방법으로 각 \(\rm ABC\), 각 \(\rm BCD\), 각 \(\rm CDA\)의 세 각은 각각 선분 \(\rm BD\), 선분 \(\rm CA\), 선분 \(\rm DB\)에 의해서 각이 이등분된다.

따라서 \(\angle\rm DAB=\angle\rm ABC\)이며, \(\angle\rm EAB=\frac12\angle\rm DAB\), \(\angle\rm EBA=\frac12\angle\rm ABC\)이므로

\(2\cdot\angle\rm EAB=\angle\rm DAB=\angle\rm ABC=2\cdot\angle\rm EBA\)

\(\angle\rm EAB=\angle\rm EBA\)

이다. 그러므로 삼각형에서 크기가 같은 각의 대응하는 두 변의 길이도 같으므로 \(\overline{\rm EA}=\overline{\rm EB}\)이다. [I권 명제 6]

같은 방법으로 \(\overline{\rm EA}=\overline{\rm ED}\), \(\overline{\rm EB}=\overline{\rm EC}\) 임을 보일 수 있다.

그러므로 네 선분 \(\rm EA\), \(\rm EB\), \(\rm EC\), \(\rm ED\)는 \(\overline{\rm EA}=\overline{\rm EB}=\overline{\rm EC}=\overline{\rm ED}\)이다.

따라서 점 를 중심으로 \(\overline{\rm EA}\), \(\overline{\rm EB}\), \(\overline{\rm EC}\), \(\overline{\rm ED}\) 중 하나의 길이를 반지름으로 하는 원을 그리자. 그러면 나머지 점들도 그 원 위에 놓여 있다.

따라서 이 원을 \(\rm ABCD\)이라 할 수 있고, 정사각형 \(\rm ABCD\)에 외접한다.

---

그러므로 주어진 정사각형에 외접하는 원을 그릴 수 있다.

Q.E.D.