증명

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주어진 정사각형 \(\rm ABCD\)가 있다.

그러면 정사각형 \(\rm ABCD\)에 내접하는 원을 그릴 수 있음을 보이자.

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주어진 정사각형 \(\rm ABCD\)가 있다.

두 선분 \(\rm AD\), \(\rm AB\)의 중점을 각각 점 \(\rm E\), 점 \(\rm F\)라 하자. [I권 명제 10] 점 \(\rm E\)에서 선분 \(\rm AB\) 또는 선분 \(\rm CD\)에 평행한 직선과 선분 \(\rm BC\)와의 교점을 \(\rm F\)라 하고, 선분 \(\rm EH\)를 그리자. 또한 점 \(\rm F\)에서 선분 \(\rm AD\) 또는 선분 \(\rm BC\)에 평행한 직선과 선분 \(\rm DC\)와의 교점을 \(\rm K\)라 하고 선분 \(\rm FK\)를 그리자. [I권 명제 31]

두 선분 \(\rm EH\), \(\rm FK\)의 교점을 점 \(\rm G\)라고 하자.

그러면 사각형들 \(\rm AFKD\), \(\rm FBCK\), \(\rm ABHE\), \(\rm EHCD\), \(\rm AFGE\), \(\rm GHCK\), \(\rm FBHG\), \(\rm EGKD\)는 모두 평행사변형이다. 그러므로 서로 마주보는 두 변들은 모두 그 길이가 같다. [I권 명제 34]

따라서 \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm AB}\)이며, \(\overline{\rm AE}=\frac12\overline{\rm AD}\)이고 \(\overline{\rm AF}=\frac12\overline{\rm AB}\)이다. 그러므로

\(2\cdot\overline{\rm AE}=\overline{\rm AD}=\overline{\rm AB}=2\cdot\overline{\rm AF}\)

\(\overline{\rm AE}=\overline{\rm AF}\)

이다. 마주보는 두 변은 같으므로

\(\overline{\rm FG}=\overline{\rm AE}=\overline{\rm AF}=\overline{\rm GE}\)

\(\overline{\rm FG}=\overline{\rm GE}\)

이다.

같은 방법으로 \(\overline{\rm GH}=\overline{\rm FG}\), \(\overline{\rm GK}=\overline{\rm GE}\)임을 보일 수 있다. 그러므로 네 선분 \(\rm GE\), \(\rm GF\), \(\rm GH\), \(\rm GK\)는 \(\overline{\rm GE}=\overline{\rm GF}=\overline{\rm GH}=\overline{\rm GK}\)이다.

그러므로 점 \(\rm G\)를 중심으로, \(\overline{\rm GE}\), \(\overline{\rm GF}\), \(\overline{\rm GH}\), \(\overline{\rm GK}\) 중 하나의 길이를 반지름으로 하는 원을 그리자. 그러면 나머지 점들도 그 원 위에 놓이게 된다.

\(\angle\rm GEA\left(=\angle\rm GED\right)=90^\circ\), \(\angle\rm GFA\left(=\angle\rm GFB\right)=90^\circ\), \(\angle\rm GHB\left(=\angle\rm GHC\right)=90^\circ\), \(\angle\rm GKC\left(=\angle\rm GKD\right)=90^\circ\)이므로 네 선분 \(\rm GE\), \(\rm GF\), \(\rm GH\), \(\rm GK\)는 원에 접한다.

만약 원이 네 선분 \(\rm GE\), \(\rm GF\), \(\rm GH\), \(\rm GK\)를 자른다면 원의 지름의 한 끝 점에 수직이 되도록 그은 직선이 원의 내부를 지나게 된다. 이것이 불가능 하다는 것을 보였다. [III권 명제 16] 그러므로 점 \(\rm G\)를 중심으로 \(\overline{\rm GE}\), \(\overline{\rm GF}\), \(\overline{\rm GH}\), \(\overline{\rm GK}\) 중 하나를 반지름으로 하는 원을 그리면 그 원은 네 선분 \(\rm GE\), \(\rm GF\), \(\rm GH\), \(\rm GK\)를 자를 수 없다.

그 원을 \(\rm EFHK\)라 하자.

따라서 원 \(\rm EFHK\)는 정사각형 \(\rm ABCD\)에 내접한다.

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그러므로 주어진 정사각형에 내접하는 원을 그릴 수 있다.

Q.E.D.