증명

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주어진 원 \(\rm ABCD\)가 있다.

그러면 원 \(\rm ABCD\)에 외접하는 정사각형을 작도 할 수 있음을 보이자.

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주어진 원 \(\rm ABCD\)가 있다.

원 \(\rm ABCD\)의 두 지름 \(\rm AC\), \(\rm BD\)를 서로 직각이 되도록 그리자. [III권 명제 1, I권 명제 11]

원 \(\rm ABCD\) 위의 네 점 \(\rm A\), \(\rm B\), \(\rm C\), \(\rm D\)에서 각각 그 원에 접하도록 직선 \(\rm FG\), \(\rm GH\), \(\rm HK\), \(\rm KF\)를 그리고 서로 다른 두 직선의 교점을 \(\rm F\), \(\rm G\), \(\rm H\), \(\rm K\)이라고 하자. [III권 명제 6 따름정리]

그러면 선분 \(\rm FG\)는 원 \(\rm ABCD\)에 접하고 있고, 선분 \(\rm EA\)는 중심 \(\rm E\)와 접점 \(\rm A\)를 그은 선분이므로 \(\angle\rm EAF\left(=\angle\rm EAG \right)=90^\circ\)이다. [III권 명제 18] 같은 이유로 \(\angle\rm EBF\left(=\angle\rm EBH \right)=90^\circ\), \(\angle\rm ECH\left(=\angle\rm ECK \right)=90^\circ\), \(\angle\rm EDK\left(=\angle\rm EDF \right)=90^\circ\)임을 보일 수 있다.

\(\angle\rm AEB=90^\circ\), \(\angle\rm EBG=90^\circ\)이므로 두 선분 \(\rm GH\), \(\rm AC\)는 평행하다. [I권 명제 28] 같은 이유로, 두 선분 \(\rm AC\), \(\rm FK\)는 평행하고, 두 선분 \(\rm GH\), \(\rm FA\)는 평행하다. [I권 명제 30]

같은 방법으로 두 선분 \(\rm GF\), \(\rm HK\)는 선분 \(\rm BED\)에 평행하다는 것을 보일 수 있다.

그러므로 \(\rm GHKF\), \(\rm GHCA\), \(\rm ACKF\), \(\rm GBDF\), \(\rm BHKD\)는 모두 평행사변형이다. 따라서 \(\overline{\rm GF}=\overline{\rm HK}\), \(\overline{\rm GH}=\overline{\rm FK}\)이다. [I권 명제 34]

그런데 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm BD}\)이고 또한 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm GH}=\overline{\rm FK}\)이다. 그리고 \(\overline{\rm BD}=\overline{\rm GF}=\overline{\rm HK}\)이다. [I권 명제 34] 그러므로 \(\overline{\rm FG}=\overline{\rm GH}=\overline{\rm HK}=\overline{\rm KF}\)이므로 사각형 \(\rm FGHK\)의 네 변의 길이가 모두 같다. --- ①

다음으로 사각형 \(\rm FGHK\)의 네 각이 모두 직각임을 보이자.

사각형 \(\rm GBEA\)는 평행사변형이고, \(\rm AEB=90^\circ\)이므로 \(\angle\rm AGB=90^\circ\) 즉, \(\angle\rm G=90^\circ\)이다. [I권 명제 34]

같은 방법으로 \(\angle\rm H=90^\circ\), \(\angle\rm K=90^\circ\), \(\angle\rm F=90^\circ\)임을 보일 수 있다. 그러므로 \(\angle\rm F=\angle\rm G=\angle\rm H=\angle\rm K=90^\circ\)이므로 사각형 \(\rm FGHK\)의 네 각이 \(90^\circ\)로 모두 같다. --- ②

①과 ②에 의해서 네 변의 길이가 모두 같고 네 각의 크기가 로 모두 같은 사각형 \(\rm FGHK\)는 정사각형이다.

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그러므로 주어진 원에 외접하는 정사각형을 작도할 수 있다.

Q.E.D.