증명

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주어진 원 \(\rm ABCD\)가 있다.

그러면 원 \(\rm ABCD\)에 내접하는 정사각형 \(\rm ABCD\)를 작도 할 수 있음을 보이자.

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주어진 원 \(\rm ABCD\)가 있다.

원 \(\rm ABCD\)에 두 지름 \(\rm AC\), \(\rm BD\)를 서로 수직이 되게 그리자. 그리고 네 선분 \(\rm AB\), \(\rm BC\), \(\rm CD\), \(\rm DA\)를 그리자. [III권 명제 1, I권 명제 11]

그러면 두 삼각형 \(\rm EAB\), \(\rm EDA\)는 점 \(\rm E\)가 중심이므로 \(\overline{\rm BE}=\overline{\rm ED}\)이고, \(\overline{\rm EA}\)는 공통, \(\angle\rm AEB=\angle\rm AED=90^\circ\)이므로 합동(SAS 합동)이다. 따라서 두 기선 \(\rm AB\), \(\rm AD\)는 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AD}\)이다. [I권 명제 4]

같은 방법으로, \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}=\overline{\rm AD}\)임을 보일 수 있다. 따라서 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm BC}=\overline{\rm CD}=\overline{\rm DA}\)이므로 사각형 \(\rm ABCD\)의 네 변의 길이가 모두 같다. --- ①

선분 \(\rm BD\)는 원 \(\rm ABCD\)의 지름이므로 도형 \(\rm BAD\)는 반원이다. 따라서 \(\angle\rm BAD=90^\circ\)이다. [III권 명제 31]

같은 방법으로 \(\angle\rm ABC=90^\circ\), \(\angle\rm BCD=90^\circ\), \(\angle\rm CDA=90^\circ\)이다. 따라서 \(\angle\rm ABC=\angle\rm BCD=\angle\rm CDA=\angle\rm DAB=90^\circ\)이다. --- ②

①과 ②에 의해서 네 변의 길이가 모두 같고 네 각이 로 모두 같은 사각형 \(\rm ABCD\)는 정사각형이다. [I권 정의 20]

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그러므로 주어진 원에 내접하는 정사각형을 작도할 수 있다.

Q.E.D.