IV 권
명제
주어진 삼각형에 외접하는 외접원을 그릴 수 있다.
주어진 삼각형 \(\rm ABC\)에 외접하는 외접원을 그릴 수 있다.
주어진 삼각형 \(\rm ABC\)가 있다.
그러면 삼각형 \(\rm ABC\)에 외접하는 외접원을 그릴 수 있음을 보이자.
주어진 삼각형 \(\rm ABC\)가 있다.
두 선분 \(\rm AB\), \(\rm AC\)의 중점을 각각 점 \(\rm D\), 점 \(\rm E\)이라고 하자. [I권 명제 10]
두 점 \(\rm D\), \(\rm E\)에서 두 선분 \(\rm AB\), \(\rm AC\)에 각각 수직인 직선 \(\rm DF\), 직선 \(\rm EF\)를 그리자. [I권 명제 11]
두 직선 \(\rm DF\), \(\rm EF\)의 교점은 삼각형 \(\rm ABC\) 안에 있거나 또는 선분 \(\rm BC\) 위에 있거나 또는 직선 \(\rm BC\) 밖 즉, 삼각형 \(\rm ABC\) 밖에서 있다.
(1) 애플릿이 삼각형을 예각삼각형으로 만들어 보아라. 두 직선 \(\rm DF\), \(\rm EF\)는 삼각형 \(\rm ABC\) 안의 점 \(\rm F\)에서 만난다고 하자.
세 선분 \(\rm FA\), \(\rm FB\), \(\rm FC\)를 그리자.
그러면 두 삼각형 \(\rm FDA\), \(\rm FDB\)는 \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm DB}\), \(\overline{\rm DF}\)는 공통, \(\angle\rm FDA=\angle\rm FDB=90^\circ\)이므로 합동(SAS 합동)이다. 따라서 두 기선(base line) \(\rm AF\), \(\rm FB\)는 \(\rm FDB\)는 \(\overline{\rm AF}=\overline{\rm FB}\)이다. [I권 명제 4]
같은 방법으로, \(\overline{\rm CF}=\overline{\rm AF}\), \(\overline{\rm FB}=\overline{\rm FC}\)임을 증명할 수 있다. 따라서 \(\overline{\rm FA}=\overline{\rm FB}=\overline{\rm FC}\)이다.
그러므로 중심이 \(\rm F\)이고 반지름이 \(\overline{\rm FA}\left(=\overline{\rm FB}=\overline{\rm FC}\right)\)인 원을 그리면 세 점 \(\rm A\), \(\rm B\), \(\rm C\)가 원 \(\rm ABC\)의 윈둘레 위에 있다. 따라서 원은 삼각형 \(\rm ABC\)에 외접한다. [IV권 정의 6]
그 원을 원 \(\rm ABC\)라고 하자.
(2) 애플릿의 삼각형을 \(\angle\rm A=90^\circ\)인 직각삼각형으로 만들어보아라. 두 직선 \(\rm DF\), \(\rm EF\)는 선분 \(\rm BC\) 위의 점 \(\rm F\)에서 만난다고 하자.
선분 \(\rm AF\)를 그리자.
그러면 같은 방법으로, 점 \(\rm F\)가 중심이고 반지름이 \(\overline{\rm FA}\left(=\overline{\rm FB}=\overline{\rm FC}\right)\)인 원이 삼각형 \(\rm ABC\)에 외접함을 증명할 수 있다.
(3) 애플릿이 삼각형을 \(\rm A\)가 둔간ㄱ인 둔각삼각형으로 만들어 보아라. 두 직선 \(\rm DF\), \(\rm EF\)가 삼각형 \(\rm ABC\) 밖에 점 \(\rm F\)에서 만난다고 하자.
세 선분 \(\rm FA\), \(\rm FB\), \(\rm FC\)를 그리자.
그러면 두 삼각형 \(\rm FDA\), \(\rm FDB\)는 \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm DB}\), \(\overline{\rm DF}\)는 공통, \(\angle\rm FDA=\angle\rm FDB=90^\circ\)이므로 합동(SAS 합동)이다. 따라서 두 기선(base line) \(\rm AF\), \(\rm FB\)는 \(\rm FDB\)는 \(\overline{\rm AF}=\overline{\rm FB}\)이다. [I권 명제 4]
같은 방법으로, \(\overline{\rm CF}=\overline{\rm AF}\), \(\overline{\rm FB}=\overline{\rm FC}\)임을 증명할 수 있다. 그러므로 중심이 \(\rm F\)이고 반지름이 \(\overline{\rm FA}\left(=\overline{\rm FB}=\overline{\rm FC}\right)\)인 원을 그리면 세 점 \(\rm A\), \(\rm B\), \(\rm C\)가 원 \(\rm ABC\)의 윈둘레 위에 있다. 따라서 원은 삼각형 \(\rm ABC\)에 외접한다. [IV권 정의 6]
그러므로
Q.E.D.
원의 중심이 삼각형 \(\rm ABC\) 안에 있으면, 각 \(\rm BAC\)는 반원 보다 더 큰 활꼴 위에 놓여 있으므로 \(\angle\rm BAC<90^\circ\)이다.
원의 중심이 선분 \(\rm BC\) 위에 있으면, 각 \(\rm BAC\)는 반원 위에 놓여 있으므로 \(\angle\rm BAC=90^\circ\)이다.
원의 중심이 삼각형 \(\rm ABC\) 밖에 있으면, 각 \(\rm BAC\)는 반원 보다 작은 활꼴 위에 놓여 있으므로 \(\angle\rm BAC>90^\circ\)이다.
심슨(Simson)과 다른 수학자들은 유클리드는 두 수직이등분선 \(\rm DF\), \(\rm EF\)가 만난다는 것을 증명하지 않았다는 것을 지적하였다. 이것에 대한 증명은 필요하지만 쉽게 보일 수 있다.
이어서 오는 명제 즉 따름명제(Corollary)는 원래 그리스어 판 원론에는 용어 자체가 없고, 단지 명제 뒤에 이어서 기술한 명제일 뿐이다.
삼각법에서 사인법칙의 비는 외접원의 지름이다.
\(2R=\frac{\overline{\rm BC}}{\sin A}==\frac{\overline{\rm CA}}{\sin B}==\frac{\overline{\rm AB}}{\sin C}\)
그림에서 이 비율에 대한 식을 쉽게 이끌어 낼 수 있다.
두 삼각형 \(\rm AFE\), \(\rm CFE\)는 합동이어서 \(\angle\rm AFC=\angle\rm B=2\angle\rm AFE\)이다. [III권 명제 20]
그러므로 \(\angle\rm AFE=\angle\rm B\)이다.
그래서 각 \(\rm B\)의 사인값을 알 수 있다.
\(\sin \rm B \sin\angle\rm AFE = \frac{\overline{\rm AE}}{\overline{\rm AF}}= \frac{\overline{\rm AE}}{R}=\frac{\overline{2\cdot\rm AE}}{2 cdot R}=\frac{\overline{\rm AC}}{2 cdot R}\)
다른 두 각에 대해서도 구하면 세 개의 비율식(사인값)으로 나타낼 수 있다.
외접원 반지름 \(R\), 내접원 반지름 \(r\), 세 방접원의 반지름 \(r_{\rm A}\), \(r_{\rm B}\), \(r_{\rm C}\)이면 아래 식이 성립한다.
\(4R=r_{\rm A}+r_{\rm B}+r_{\rm C}-r\)
임의의 삼각형에 대하여 내접원, 외접원 다른 것들과 함께 작도하면 더 많은 흥미로운 결과들을 발견할 수 있다.