IV 권
명제
주어진 삼각형에 내접하는 원을 작도 할 수 있다.
주어진 삼각형 \(\rm ABC\)에 내접하는 원을 작도 할 수 있다.
주어진 삼각형 \(\rm ABC\)가 있다.
그러면 삼각형 \(\rm ABC\)에 내접하는 원을 작도할 수 있음을 보이자.
주어진 삼각형 \(\rm ABC\)가 있다.
각 \(\rm ABC\)를 이등분하는 각이등분선 \(\rm BD\)를 그리고, 각 \(\rm ACB\)를 이등분하는 각이등분선 \(\rm CD\)를 그리자. [I권 명제 9]
이 두 직선 \(\rm BD\), \(\rm CD\)의 교점을 \(\rm D\)이라고 하자. 점 \(\rm D\)에서 세 변 \(\rm AB\), \(\rm BC\), \(\rm CA\)에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm E\), \(\rm F\), \(\rm G\)라 하고 세 선분 \(\rm DE\), \(\rm DF\), \(\rm DG\)를 그리자. [I권 명제 12]
두 삼각형 \(\rm EBD\), \(\rm FBD\)는 \(\angle\rm ABD = \angle\rm CBD\)이고, \(\angle\rm BED = \angle\rm BFD=90^\circ\)이기 때문에 \(\angle\rm BED = \angle\rm BFD\)이며, 변 \(\rm BD\)는 공통이므로 합동(ASA 합동)이다. 따라서 나머지 변들의 길이도 같아 \(\overline{\rm DE}=\overline{\rm DF}\)이다. [I권 명제 26]
같은 이유로, \(\overline{\rm DG}=\overline{\rm DF}\)이다.
그러므로 \(\overline{\rm DE}=\overline{\rm DF}=\overline{\rm DG}\)이다. 따라서 점 \(\rm D\)를 중심으로 하고 \(\overline{\rm DE}\left(=\overline{\rm DF}=\overline{\rm DG}\right)\)를 반지름으로 하는 원을 그리면, 그 원은 \(\angle\rm AED=\angle\rm BED=90^\circ\), \(\angle\rm BFD=\angle\rm CFD=90^\circ\), \(\angle\rm CGD=\angle\rm AGD=90^\circ\)이고, 세 점 \(\rm E\), \(\rm F\), \(\rm G\)는 모두 원 둘레 위에 있으므로 세 변 \(\rm AB\), \(\rm BC\), \(\rm CA\)에 각각 접한다.
왜냐하면 만약 원이 선분을 자르면 원의 지름의 한 끝 점에서 수직이 되도록 그은 선분이 원 안쪽에 있어야 하는데 이는 불가능하다는 것을 보였다. [III권 명제 16]
그러므로 점 \(\rm D\)가 중심이고 반지름이 \(\overline{\rm DE}\left(=\overline{\rm DF}=\overline{\rm DG}\right)\)인 원은 세 변 \(\rm AB\), \(\rm BC\), \(\rm CA\)을 자를 수 없다. 따라서 이 원은 삼각형 \(\rm ABC\)에 내접한다. [IV 정의 5]
삼각형 \(\rm ABC\)에 내접하는 원을 원 \(\rm FGE\)라고 하자. 그러면 원 \(\rm FGE\)는 주어진 삼각형 \(\rm ABC\)에 내접한다.
그러므로 주어진 삼각형에 내접하는 원을 작도 할 수 있다.
Q.E.D.
이 명제는 두 각이등분선 \(\rm BD\), \(\rm CD\)가 만난다는 논리가 빠져 있으나 이는 쉽게 채울 수 있다.
삼각형에 내접하는 원을 삼각형의 내접원(incircle)이라 하고, 내접원의 중심을 내심(incenter)이라 하고 반지름을 내접원 반지름(inradius)이라고 한다.
내접원은 세 선분 \(\rm AB\), \(\rm BC\), \(\rm CA\)에 접하는 원이다. 그건데 이 세 선분을 확장하고 이 확장된 세 선분에 접하는 원이 세 개가 더 있다. 그런데 이 세 원들은 삼각형 밖에 존재하며 이 세 원을 방접원(excircle)이라고 한다.
내각의 각이등분선 \(\rm AD\) 위의 임의의 점에서 확장된 두 선분 \(\rm AB\), \(\rm AC\) 까지 각각의 거리가 같다. 점 \(\rm A\)에서 직선 \(\rm AD\)에 수직인 직선 \(\rm B'C'\) 위의 임의의 점은 확장된 두 선분 \(\rm AB\), \(\rm AC\) 까지 각각의 거리도 같다.
직선 \(\rm B'C'\)은 점 \(\rm A\)에서의 외각의 각이등분선이라고 한다. 내심 \(\rm D\)는 삼각형 \(\rm ABC\)의 세 내각의 세 각이등분선은 한 점에서 만나고 두 외각의 각이등분선 \(\rm AB'\), \(\rm CB'\)과 한 내각의 각이등분선 \(\rm BB'\)은 한 점인 방심 \(\rm B'\)에서 만난다.
다른 두 방심 \(\rm A'\), \(\rm C'\)도 동일하다.
기원전 1세기 알렉산드리아의 헤론(Heron)은 유명한 그리스 수학자로 다른 무엇보다도, 지금은 소실 되었지만 원론의 해설을 저술하였다. 이것은 프롤러스(Proculus)와 안-나아리지(an-Nairizi)에 의해 알려졌다.
헤론이 저술한 ‘메트리카(Metrica)’ 안에 ‘헤론 공식’이라고 불리는 공식의 증명이 수록되어 있다.
삼각형 \(\rm ABC\)의 세 변의 길이가 \(a=\overline{\rm AB}\), \(b=\overline{\rm BC}\), \(c=\overline{\rm CA}\)인 삼각형의 넓이는 \(\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}\)이다. (단, \(s\)는 삼각형 \(\rm ABC\)의 둘레 길이의 절반으로 즉, \(s=\frac{a+b+c}{2}\)이다.)
아르키메데스는 이 공식을 알고 있었을지도 모르지만, 그 증거는 아직까지 발견되지 않았다. 히스(Heath)는 헤론 공식의 완벽한 증명을 제시하였지만 단지 내접원과 밀접하게 관련된 처음 부분만 살펴보자.
점 \(\rm D\)는 삼각형 \(\rm ABC\)의 내접원의 내심이라고 하자. 그리고 세 선분 \(\rm DE\), \(\rm DF\), \(\rm DG\)가 유클리드 증명에서처럼 삼각형 세 변에 각각 수직으로 그려져 있다고 하자.
이들 세 선분의 길이는 모두 내접원 반지름 \(r\)과 같아 \(\overline{\rm DE}=\overline{\rm DF}=\overline{\rm DG}=r\)이다.
삼각형 \(\rm ABD\)는 밑변이 \(\overline{\rm AB}\), 높이가 \(r\)이어서 넓이는 \(\frac12\cdot r \cdot \overline{\rm AB}\)이다.
같은 방법으로, 삼각형 \(\rm BCD\)의 넓이는 \(\frac12\cdot r \cdot \overline{\rm BC}\)이고, 삼각형 \(\rm CAD\)의 넓이는 \(\frac12\cdot r \cdot \overline{\rm CA}\)이다.
이들 세 삼각형 \(\rm DAB\), \(\rm DBC\), \(\rm DCA\)의 넓이를 모두 더하면 삼각형 \(\rm ABC\) 넓이와 같다.
넓이\(\left(\rm ABC \right)=\frac12\cdot r \cdot \left(\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}+\overline{\rm CA} \right)\)
헤론의 증명과 방접원을 연결시켜 보자.
점 \(\rm A'\)이 내각 \(\rm A\)의 각이등분선 위에 있는 방심이라고 하자. 점 \(\rm A'\)으로부터 삼각형 \(\rm ABC\)의 확장된 세 변에 수직이 되도록 각각 세 변 \(\rm A'E'\), \(\rm A'F'\), \(\rm A'G'\)을 그리자. 그 길이는 \(\overline{\rm A'E'}=\overline{\rm A'F'}=\overline{\rm A'G'}=r_{\rm A}\)이다. 단, \(r_{\rm A}\)는 방접원의 반지름이다.
삼각형 \(\rm ABA'\)은 변 \(\rm AB\)를 밑변으로 하고 높이가 \(\overline{\rm A'E'}\)이므로 넓이는 \(\frac12 \cdot r_{\rm A} \cdot \overline{\rm AB}\)이다.
같은 방법으로 삼각형 \(\rm BCA'\)의 넓이는 \(\frac12 \cdot r_{\rm A} \cdot \overline{\rm BC}\)이고, 삼각형 \(\rm CAA'\)의 넓이는 \(\frac12 \cdot r_{\rm A} \cdot \overline{\rm CA}\)이다. 따라서
넓이\(\left(\triangle \rm ABC\right)=\) 넓이\(\left(\triangle \rm ABA'\right)+\)넓이\(\left(\triangle \rm ACA'\right)-\)넓이\(\left(\triangle \rm BCA'\right)\)
\(=\frac12 \cdot r_{\rm A}\cdot \left(\overline{\rm AB}+\overline{\rm CA}-\overline{\rm BC}\right)=r_{\rm A}\cdot\left(s-\overline{\rm BC}\right)\)
이다.
다른 방접원에 대하여도 이와 같은 방법으로 식을 구하면 아래 식을 얻는다
넓이\(\left(\triangle\rm ABC\right)=rs=r_{\rm A}\left(s-\overline{\rm BC}\right)=r_{\rm B}\left(s-\overline{\rm CA}\right)=r_{\rm C}\left(s-\overline{\rm AB}\right)\)
위의 식을 반지름의 관계식으로 나타내면 아래와 같다.
\(\frac1{r}=\frac1{\rm A}+\frac1{\rm B}+\frac1{\rm C}\)
또한 외접원 반지름 \(R\)도 이와 비슷한 공식이 있는데 다음과 같다.
\(r_{\rm A}+r_{\rm B}+r_{\rm C}-r=4R\)