증명

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주어진 원 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$와 삼각형 $\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F}$가 있다.

그러면 삼각형 $\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F}$와 닮음 삼각형을 원 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$에 외접하도록 작도할 수 있음을 보이자.

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주어진 원 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$와 삼각형 $\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F}$가 있다.

선분 $\mathrm{E}\mathrm{F}$를 늘려서 선분 $\mathrm{G}\mathrm{H}$를 그리자. 원 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$의 중심을 $\mathrm{K}$라 하자. [III권 명제 1]

선분 $\mathrm{K}\mathrm{B}$를 그리자. 선분 $\mathrm{K}\mathrm{B}$의 한 점 $\mathrm{K}$에서 $\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{K}\mathrm{A}=\mathrm{\angle }\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{G}$가 되도록 각 $\mathrm{B}\mathrm{K}\mathrm{A}$를 작도하고, $\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{K}\mathrm{C}=\mathrm{\angle }\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{H}$가 되도록 각 $\mathrm{B}\mathrm{K}\mathrm{C}$를 작도하자. [I권 명제 23]

원 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$의 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{c}$에서 원에 접하도록 각각 직선을 그리고, 두 직선들의 교점을 $\mathrm{L}$, $\mathrm{M}$, $\mathrm{N}$이라 하고 세 선분 $\mathrm{L}\mathrm{A}\mathrm{M}$, $\mathrm{M}\mathrm{B}\mathrm{N}$, $\mathrm{N}\mathrm{C}\mathrm{L}$을 그리자. [III권 명제 16 따름 정리]

세 선분 $\mathrm{L}\mathrm{M}$, $\mathrm{M}\mathrm{N}$, $\mathrm{N}\mathrm{L}$은 원 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$ 위의 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$에 각각 접하는 접선이고, 세 선분 $\mathrm{K}\mathrm{A}$, $\mathrm{K}\mathrm{B}$, $\mathrm{K}\mathrm{C}$는 원의 중심 $\mathrm{K}$에서 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$에 각각 그은 선분이기 때문에 $\mathrm{\angle }\mathrm{L}\mathrm{A}\mathrm{K}=\mathrm{\angle }\mathrm{M}\mathrm{A}\mathrm{K}={90}^{\circ }$, $\mathrm{\angle }\mathrm{M}\mathrm{B}\mathrm{K}=\mathrm{\angle }\mathrm{N}\mathrm{B}\mathrm{K}={90}^{\circ }$, $\mathrm{\angle }\mathrm{N}\mathrm{C}\mathrm{K}=\mathrm{\angle }\mathrm{L}\mathrm{C}\mathrm{K}={90}^{\circ }$이다. [III권 명제 18]

그리고 사각형 $\mathrm{A}\mathrm{M}\mathrm{B}\mathrm{K}$의 네 내각의 합은 ${360}^{\circ }$이고 $\mathrm{\angle }\mathrm{M}\mathrm{A}\mathrm{K}=\mathrm{\angle }\mathrm{M}\mathrm{B}\mathrm{K}={90}^{\circ }$이므로

$\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{K}\mathrm{B}+\mathrm{\angle }\mathrm{M}\mathrm{B}\mathrm{K}+\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{M}\mathrm{B}+\mathrm{\angle }\mathrm{M}\mathrm{A}\mathrm{K}={360}^{\circ }$

$\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{K}\mathrm{B}+{90}^{\circ }+\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{M}\mathrm{B}+{90}^{\circ }={360}^{\circ }$

$\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{K}\mathrm{B}+\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{M}\mathrm{B}={180}^{\circ }$--- ①

이다.

그런데 $\mathrm{\angle }\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{G}+\mathrm{\angle }\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F}={180}^{\circ }$이므로 식 ①과 비교하면

$\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{K}\mathrm{B}+\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{M}\mathrm{B}={180}^{\circ }=\mathrm{\angle }\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{G}+\mathrm{\angle }\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F}$

$\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{K}\mathrm{B}+\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{M}\mathrm{B}=\mathrm{\angle }\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{G}+\mathrm{\angle }\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F}$ --- ②

이다.

또한 $\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{K}\mathrm{B}=\mathrm{\angle }\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{G}$이므로 식 ②는 $\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{M}\mathrm{B}=\mathrm{\angle }\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F}$ 이다. [I권 명제 13]

같은 방법으로 $\mathrm{\angle }\mathrm{L}\mathrm{N}\mathrm{B}=\mathrm{\angle }\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{E}$임을 증명할 수 있다. 그러므로 나머지 각인 두 각 $\mathrm{M}\mathrm{L}\mathrm{N}$, $\mathrm{E}\mathrm{D}\mathrm{F}$도 $\mathrm{\angle }\mathrm{M}\mathrm{L}\mathrm{N}=\mathrm{\angle }\mathrm{E}\mathrm{D}\mathrm{F}$이다.

따라서 두 삼각형 $\mathrm{L}\mathrm{M}\mathrm{N}$, $\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F}$는 닮음(AAA 닮음) 삼각형이고 원 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$에 외접한다. [IV권 정의 4]

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그러므로 주어진 원과 삼각형에 대하여, 그 삼각형과 닮음 삼각형을 주어진 원에 외접하도록 작도 할 수 있다.

Q.E.D.