증명

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주어진 원 \(\rm ABC\)와 삼각형 \(\rm DEF\)가 있다.

그러면 삼각형 \(\rm DEF\)와 닮음 삼각형을 원 \(\rm ABC\)에 외접하도록 작도할 수 있음을 보이자.

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주어진 원 \(\rm ABC\)와 삼각형 \(\rm DEF\)가 있다.

선분 \(\rm EF\)를 늘려서 선분 \(\rm GH\)를 그리자. 원 \(\rm ABC\)의 중심을 \(\rm K\)라 하자. [III권 명제 1]

선분 \(\rm KB\)를 그리자. 선분 \(\rm KB\)의 한 점 \(\rm K\)에서 \(\angle\rm BKA=\angle\rm DEG\)가 되도록 각 \(\rm BKA\)를 작도하고, \(\angle\rm BKC=\angle\rm DFH\)가 되도록 각 \(\rm BKC\)를 작도하자. [I권 명제 23]

원 \(\rm ABC\)의 세 점 \(\rm A\), \(\rm B\), \(\rm c\)에서 원에 접하도록 각각 직선을 그리고, 두 직선들의 교점을 \(\rm L\), \(\rm M\), \(\rm N\)이라 하고 세 선분 \(\rm LAM\), \(\rm MBN\), \(\rm NCL\)을 그리자. [III권 명제 16 따름 정리]

세 선분 \(\rm LM\), \(\rm MN\), \(\rm NL\)은 원 \(\rm ABC\) 위의 점 \(\rm A\), \(\rm B\), \(\rm C\)에 각각 접하는 접선이고, 세 선분 \(\rm KA\), \(\rm KB\), \(\rm KC\)는 원의 중심 \(\rm K\)에서 세 점 \(\rm A\), \(\rm B\), \(\rm C\)에 각각 그은 선분이기 때문에 \(\angle\rm LAK=\angle\rm MAK=90^\circ\), \(\angle\rm MBK=\angle\rm NBK=90^\circ\), \(\angle\rm NCK=\angle\rm LCK=90^\circ\)이다. [III권 명제 18]

그리고 사각형 \(\rm AMBK\)의 네 내각의 합은 \(360^\circ\)이고 \(\angle\rm MAK=\angle\rm MBK=90^\circ\)이므로

\(\angle\rm AKB+\angle\rm MBK+\angle\rm AMB+\angle\rm MAK=360^\circ \)

\(\angle\rm AKB+90^\circ+\angle\rm AMB+90^\circ=360^\circ \)

\(\angle\rm AKB+\angle\rm AMB=180^\circ \)--- ①

이다.

그런데 \(\angle\rm DEG+\angle\rm DEF=180^\circ\)이므로 식 ①과 비교하면

\(\angle\rm AKB+\angle\rm AMB=180^\circ=\angle\rm DEG+\angle\rm DEF\)

\(\angle\rm AKB+\angle\rm AMB=\angle\rm DEG+\angle\rm DEF\) --- ②

이다.

또한 \(\angle\rm AKB=\angle\rm DEG\)이므로 식 ②는 \(\angle\rm AMB=\angle\rm DEF\) 이다. [I권 명제 13]

같은 방법으로 \(\angle\rm LNB=\angle\rm DFE\)임을 증명할 수 있다. 그러므로 나머지 각인 두 각 \(\rm MLN\), \(\rm EDF\)도 \(\angle\rm MLN=\angle\rm EDF\)이다.

따라서 두 삼각형 \(\rm LMN\), \(\rm DEF\)는 닮음(AAA 닮음) 삼각형이고 원 \(\rm ABC\)에 외접한다. [IV권 정의 4]

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그러므로 주어진 원과 삼각형에 대하여, 그 삼각형과 닮음 삼각형을 주어진 원에 외접하도록 작도 할 수 있다.

Q.E.D.