증명

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주어진 원 \(\rm ABC\)와 삼각형 \(\rm DEF\)가 있다.

그러면 원 \(\rm ABC\) 안에 삼각형 \(\rm DEF\) 내각의 크기가 모두 같은 닮음 삼각형을 내접하게 작도 할 수 있음을 보이자.

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주어진 원 \(\rm ABC\)와 삼각형 \(\rm DEF\)가 있다.

원 \(\rm ABC\) 위의 한 점 \(\rm A\)에서 접하도록 선분 \(\rm GH\)를 그리자 [III권 명제 16 따름 정리]

선분 \(\rm AH\)의 한 끝 점 \(\rm A\)에서 \(\angle\rm HAC=\angle\rm DEF\)가 되도록 각 \(\rm HAC\)를 작도하자. 그리고 선분 \(\rm AG\)의 한 끝 점 \(\rm A\)에서 \(\angle\rm GAB=\angle\rm DFE\)가 되도록 각 \(\rm GAH\)를 작도하자. 그리고 선분 \(\rm BC\)를 그리자. [I권 명제 23]

그러면 선분 \(\rm AH\)는 원 \(\rm ABC\)에 접하고 점 \(\rm A\)에서 원 안쪽으로 현 \(\rm AC\)가 그려져 있기 때문에 \(\angle\rm HAC=\angle\rm ABC\)이다. [III권 명제 32]

그런데 \(\angle\rm HAC=\angle\rm DEF\)이므로 역시 \(\angle\rm ABC=\angle\rm DEF\)이다.

같은 이유로, \(\angle\rm ABC=\angle\rm DFE\)이다. 그러므로 나머지 두 각 \(\rm BAC\), \(\rm EDF\) 역시 \(\angle\rm BAC=\angle\rm EDF\)이다. [I권 명제 32]

따라서 주어진 삼각형 \(\rm EDF\)와 삼각형 \(\rm ABC\)는 세 각이 모두 같은 닮음 삼각형이다. [IV권 정의 2]

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그러므로 주어진 원과 삼각형에 대하여, 삼각형의 내각의 크기가 모두 같은 닮음 삼각형(AAA닮음 삼각형)을 원에 내접하도록 작도 할 수 있다.

Q.E.D.