IV 권
명제
주어진 원과 원의 지름 보다 짧거나 같은 주어진 선분이 있으면 그 원 안에 선분의 길이와 같은 현을 그릴 수 있다.
주어진 원 \(\rm ABC\)와 원의 지름 \(\rm BC\)보다 짧거나 같은 선분 \(\rm DE\)가 있으면 원 \(\rm ABC\) 안에 길이가 \(\overline{\rm DE}\)인 현을 그릴 수 있다.
주어진 원 \(\rm ABC\)와 원의 지름 \(\rm BC\)보다 짧거나 같은 선분 \(\rm DE\)가 있다.
그러면 원 \(\rm ABC\) 안에 길이가 \(\overline{\rm DE}\)인 현을 그릴 수 있음을 보이자.
주어진 원 \(\rm ABC\)와 원의 지름 \(\rm BC\)보다 짧거나 같은 선분 \(\rm DE\)가 있다.
(1) \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm DE}\)이라고 하자.
그러면 지름 \(\rm BC\)도 원 \(\rm ABC\)의 한 현이므로 자명하다.
(2) \(\overline{\rm BC}>\overline{\rm DE}\)이라고 하자.
\(\overline{\rm CF}=\overline{\rm DE}\)인 지름 \(\rm BC\) 위에 점 \(\rm F\)를 잡자. 그리고 중심이 \(\rm C\)이고 반지름이 \(\overline{\rm CF}\)인 원 \(\rm FAG\)를 그리고 선분 \(\rm CA\)를 그리자. [I권 명제 3]
그러면 점 \(\rm C\)가 원 \(\rm FAG\)의 중심이므로 \(\overline{\rm CA}=\overline{\rm CF}\)이다.
그런데 \(\overline{\rm CA}=\overline{\rm DE}\)이어서 \(\overline{\rm DE}=\overline{\rm CA}\)이다.
따라서 원 \(\rm ABC\)의 현 \(\rm CA\)는 주어진 선분 \(\rm DE\)의 길이와 같다. [IV권 정의 7]
그러므로 주어진 원과 원의 지름 보다 짧거나 같은 주어진 선분이 있으면 그 원 안에 선분의 길이와 같은 현을 그릴 수 있다.
Q.E.D.
원의 현은 원의 지름보다 더 길지 않다는 가정은 분명 필요하지만 유클리드는 충분치 않다는 것을 보여주지 않았다. 두 원이 실제로 점 \(\rmA\)에서 만난다는 결론을 내리기에 충분하다. 예를 들어 I권 명제 1과 I권 명제 22에서와 같은 이러한 논리적 차이는 이전에 원론에서 나타난 적이 있다.
이 명제는 IV권 명제 10, IV권 명제 16에서 사용되며, 가끔 X권, XI권, XII권에서 사용된다.