IV 권
명제
주어진 원에 대하여, 그 원에 모든 변의 길이가 같고 모든 각의 크기가 같은 정15각형을 내접하도록 작도 할 수 있다.
주어진 원 \(\rm ABCD\)에 대하여, 원 \(\rm ABCD\)에 모든 변의 길이가 같고 모든 각의 크기가 같은 정15각형을 내접하도록 작도 할 수 있다.
주어진 원 \(\rm ABCD\)가 있다.
그러면 원 \(\rm ABCD\)에 모든 변의 길이가 같고 모든 각의 크기가 같은 정15각형을 내접하도록 작도 할 수 있음을 보이자.
주어진 원 \(\rm ABCD\)가 있다.
원 \(\rm ABCD\)에 내접하는 정삼각형의 한 변 \(\rm AC\)를 그리고 [IV권 명제 2], 내접하는 정오각형의 한 변 \(\rm AB\)를 그리자. [IV권 명제 11]
원 \(\rm ABCD\)를 15등분하면 15개의 호가 만들어진다. 그러면 \(\overset{\frown}{\rm ABC}=\frac13\cdot\)(원 \(\rm ABCD\) 원둘레)이므로 호 \(\rm ABC\)에 15개 분할된 호 중 다섯 개의 호가 놓이고,[IV권 명제 2] \(\overset{\frown}{\rm AB}=\frac15\cdot\)(원 \(\rm ABCD\) 원둘레)이므로 호 \(\rm AB\)에 15개 분할된 호 중 세 개의 호가 놓인다. [IV권 명제 11] 따라서 \(\overset{\frown}{\rm BC}=\frac2{15}\cdot\)(원 \(\rm ABCD\) 원둘레)이므로 호 \(\rm BC\)에 분할된 15개의 호 중 두 개의 호가 놓인다.
호 \(\rm BC\)를 이등분하는 점을 \(\rm E\)라고 하자. [III권 명제 30] 그러면 \(\overset{\frown}{\rm BE}=\overset{\frown}{\rm EC}\)(원 \(\rm ABCD\) 원둘레)이다.
두 선분 \(\rm BE\), \(\rm EC\)를 그리자. 원 \(\rm ABCD\) 위에 이들 선분 길이와 같은 선분을 차례로 그리자. [IV권 명제 11] 그러면 모든 변의 길이가 같고, 모든 내각의 크기 같은 정15각형을 원에 내접하도록 작도된다.
그러므로 주어진 원에 대하여, 그 원에 모든 변의 길이가 같고 모든 각의 크기가 같은 정15각형을 내접하도록 작도 할 수 있다.
Q.E.D.
정오각형의 경우와 같이, 원에 내접하는 정15각형의 원둘레 위의 꼭짓점에서 접하는 직선들의 교점들을 차례로 그어 15각형을 작도하면 모든 변의 길이가 같고 모든 각의 크기가 같은 정15각형이 원에 외접한다. 정오각형의 경우와 같은 증명 방법으로, 주어진 정15각형에 대하여, 그 정15각형에 내접하는 원과 외접하는 원을 그릴 수 있다
두 점 \(\rm A\), \(\rm C\)는 정삼각형 \(\rm ABC\)의 동일한 간격의 세 꼭짓점 중 두 개이므로 \(\overset{\frown}{\rm AC}=\frac13\cdot\)(원 \(\rm ABCD\) 원둘레)이다. 두 점 \(\rm A\), \(\rm B\)는 정오각형의 인접한 두 점이므로 \(\overset{\frown}{\rm AB}=\frac15\cdot\)(원 \(\rm ABCD\) 원둘레)이다. 따라서 \(\overset{\frown}{\rm BC}=\overset{\frown}{\rm AC}-\overset{\frown}{\rm AB}=\frac13\cdot\)(원 \(\rm ABCD\) 원둘레)\(-\frac15\cdot\)(원 \(\rm ABCD\) 원둘레)\(=\frac2{15}\cdot\)(원 \(\rm ABCD\) 원둘레)이다. 점 \(\rm E\)는 호 \(\rm BC\)를 이등분하므로 \(\overset{\frown}{\rm BE}=\overset{\frown}{\rm EC}\)(원 \(\rm ABCD\) 원둘레)이다. 정15각형의 나머지 변들은 쉽게 작도 할 수 있다.
IV권이 끝날때 쯤, 유클리드는 다양한 정다각형 작도 방법에 대해서 설명하였다. 정삼각형 작도는 [I권 명제 1]에 정삼각형 작도는 [I권 명제 46]에 구성하였다. IV권에서 정오각형과 정육각형의 작도를 구성하였다. [III권 명제 30](이 명제에서 사용됨)을 적용하면 정다각형의 변의 수를 두 배로 늘릴 수 있으므로 8, 10, 12, 16, 20, 24, \(\cdots\) 개의 변을 가진 정다각형을 작도할 수 있다.
이 명제는 \(m\), \(n\)이 각각 소수이면, 정\(m\)각형과 정\(n\)각형을 사용하여 정\(mn\)각형을 작도하는 것을 증명하는 것이다. 그러면 정15각형이 작도되었고 이것으로 부터 30, 60, 120, \(\cdots\) 개의 변을 가진 정다각형을 작도 할 수 있다. 따라서 을 나누는 소수만 즉, 2, 3, 5인 경우만 정\(n\)각형을 작도 할 수 있다. 여기서 2는 반복되는 인수이지만 3과 5는 반복되지 않는다.
그러나 다른 것들이 있는가? 7, 9, 11, 13, 17, 18, 19, \(\cdots\) 개 등의 변들을 갖는 정다각형은 어떤가? 유클리드는 이러한 것들에 대해 아무런 언급도 하지 않았지만 고대 그리스 수학자들은 눈금 없는 자와 컴퍼스의 유클리드 도구만으로는 작도 할 수 없다고 예상을 하였다. 각을 삼등분하기 위해서는 원뿔단면(쌍곡선, 포물선, 타원)을 포함하는 작도 방법이 있다. 이러한 작도는 정9각형을 작도 할 수 있다. 그러나 원뿔 곡선을 포함하는 방법은 유클리드 도구를 넘어선다. 아르키메데스 나선과 같은 비대수곡선(non-algebra curve)의 도움으로 각을 동일한 부분으로 나룰 수 있으며 이러한 곡선을 사용하여 모든 정각형을 작도할 수 있다. 그러나 이것도 유클리드 도구를 넘어선다.
유클리드 도구만을 사용하여 다른 정다각형을 구성하는 문제는 2000년 이상 풀리지 않은채 남아 있다. 마지막으로 카롤 프리드리히 가우스(1777~1855)가 정17각형 작도 방법을 발견하였다. 그는 정수론의 주요 연구인 ≪정수론 연구(Disquistions Arithmetiae)≫에서 유클리드 도구로 정17각형을 작도하는 방법에 대해 설명하였다. 그러나 을 나누 수 있는 소수로서 3, 5, 17을 추가할 수 있지만 기껏해야 17을 추가 한 것뿐이다.