증명

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주어진 원 \(\rm ABCDEF\)가 있다.

그러면 원 \(\rm ABCDEF\)에 내접하는 모든 변의 길이가 같고 모든 각의 크기가 같은 정육각형을 작도 할 수 있음을 보이자.

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주어진 원 \(\rm ABCDEF\)가 있다.

1) 작도

원 \(\rm ABCDEF\)에 지름 \(\rm AD\)를 그리자. 원의 중심 \(\rm G\)를 잡자. [III권 명제 1] 중심이 \(\rm D\)이고 반지름이 \(\overline{\rm DG}\)인 원 \(\rm EGCH\)를 그리자. 두 선분 \(\rm EG\), \(\rm CG\)를 그리고 두 반직선 \(\rm EG\), \(\rm CG\)와 원과의 교점을 각각 \(\rm B\), \(\rm F\)라 하자. 선분들 \(\rm AB\), \(\rm BC\), \(\rm CD\), \(\rm DE\), \(\rm EF\), \(\rm FA\)를 그리자. 따라서 육각형 \(\rm ABCDEF\)을 작도 하였다.

육각형 \(\rm ABCDEF\)의 모든 변의 길이는 같고 모든 각의 크기가 같음을 보이자.

2) 모든 변의 길이가 같음을 보이자.

점 \(\rm G\)가 원 \(\rm ABCDEF\)의 중심이므로 \(\overline{\rm GE}=\overline{\rm GD}\)이다.

다시 점 \(\rm D\)는 원 \(\rm GCH\)의 중심이므로 \(\overline{\rm DE}=\overline{\rm DG}\)이다.

그런데 \(\overline{\rm GE}=\overline{\rm GD}\)임을 보였으므로 \(\overline{\rm GE}=\overline{\rm ED}\)이다. [I권 명제 5] 그러므로 삼각형 \(\rm EGD\)는 세 변의 길이가 모두 같은 정삼각형이고 정삼각형은 이등변 삼각형이며 이등변삼각형이 경우 두 밑각의 크기가 같으므로 \(\angle\rm EGD=\angle\rm GDE=\angle\rm DEG\)이다.

그리고 삼각형의 세 내각의 합은 \(180^\circ\)이므로 \(\angle\rm EGD=180^\circ \times \frac13=60^\circ\)이다. [I권 명제 32]

같은 이유로 \(\angle\rm DGC=180^\circ \times \frac13=60^\circ\)이다.

그리고 선분 \(\rm EB\) 위의 점 \(\rm C\)에서 선분 \(\rm CG\)를 그렸기 때문에 \(\angle\rm EGC+\angle\rm CGB=180^\circ\)이다. 그러므로 \(\angle\rm CGB=180^\circ\times\frac13=60^\circ\)이다. [I권 명제 13]

따라서 \(\angle\rm EGD=\angle\rm DGC=\angle\rm CGB\)이다.

그러므로 \(\angle\rm EGD=\angle\rm DGC=\angle\rm CGB=\angle\rm BGA=\angle\rm FGE\)이다.

그런데 같은 각에 대응하는 호의 길이는 같으므로 \(\overset{\frown}{\rm AB}=\overset{\frown}{\rm BC}=\overset{\frown}{\rm CD}=\overset{\frown}{\rm DE}=\overset{\frown}{\rm EF}=\overset{\frown}{\rm FA}\)이다. [III권 명제 26]

그리고 같은 호의 길이에 대응하는 현의 길이는 같으므로 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm BC}=\overline{\rm CD}=\overline{\rm DE}=\overline{\rm EF}=\overline{\rm FA}\)이다. [III권 명제 29] 그러므로 육각형 \(\rm ABCDEF\)의 모든 변의 길이가 같다.

3) 육각형 \(\rm ABCDEF\)의 모든 각의 크기가 같음을 보이자.

\(\overset{\frown}{\rm FA}=\overset{\frown}{\rm ED}\)이다. 양변에 \(\overset{\frown}{\rm ABCD}\)를 각각 더하자. 그러면

\(\overset{\frown}{\rm FA}+\overset{\frown}{\rm ABCD}=\overset{\frown}{\rm ED}+\overset{\frown}{\rm ABCD}\)

\(\overset{\frown}{\rm FABCD}=\overset{\frown}{\rm EDCBA}\)

이다.

각 \(\rm FED\)는 호 \(\rm FABCD\)에 마주보는 원주각이고, 각 \(\rm AFE\)는 호 \(\rm EDCBA\)에 마주보는 원주각이므로 \(\angle\rm FED=\angle\rm AFE\)이다. [III권 명제 27]

같은 방법으로 육각형 \(\rm ABCDEF\)의 나머지 각들의 크기도 \(\angle\rm AFE\)(\(=\angle\rm FED\))임을 보일 수 있다. 그러므로 육각형 \(\rm ABCDEF\)의 모든 각의 크기가 같다.

따라서 육각형 \(\rm ABCDEF\)는 모든 변의 길이가 같고 모든 각의 크기가 같다. 또한 원 \(\rm ABCDEF\)에 내접한다.

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그러므로 주어진 원에 대하여, 그 원에 내접하는 모든 변의 길이가 같고 모든 각의 크기가 같은 정육각형을 작도 할 수 있다.

Q.E.D.

따름 명제 15

[명제 15]에서 육각형의 한 변의 길이와 원의 반지름은 같다.

그리고 오각형의 경우와 마찬가지로, 원에 내접하는 육각형의 원둘레 위의 점들에서 원에 접하는 직선을 그리고 그 교점들을 연속적으로 연결하여 육각형을 작도하면 그 육각형은 모든 변의 길이가 같고 모든 각의 크기가 같으며 원에 외접한다.

오각형의 경우에서 설명한 같은 방법으로, 주어진 정육각형에 내접하는 원과 외접하는 원을 그릴 수 있다.