증명

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모든 변의 길이가 같고 모든 각의 크기가 같은 주어진 정오각형 \(\rm ABCDE\)가 있다.

그러면 정오각형 \(\rm ABCDE\)에 외접하는 원을 그릴 수 있음을 보이자.

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모든 변의 길이가 같고 모든 각의 크기가 같은 주어진 정오각형 \(\rm ABCDE\)가 있다.

두 각 \(\angle\rm BCD\), \(\angle\rm CDE\)의 각을 이등분하는 각각의 각이등분선 \(\rm CF\), \(\rm DF\)를 그리자. [I권 명제 9] 이 두 각이등분선의 교점을 \(\rm F\)라 하고 이 점 \(\rm F\)로 부터 세 선분 \(\rm FA\), \(\rm FB\), \(\rm FM\)을 그리자.

그러면 앞의 명제에서와 같은 방법으로 선분 \(\rm FB\)는 각 \(\rm CBA\)를 각이등분하고 선분 \(\rm FA\)는 각 \(\rm AED\)를 각이등분한다는 것을 보일 수 있다. [IV권 명제 13]

\(\angle\rm BCD=\angle\rm CDE\), \(\angle\rm FCD=\frac12 \cdot \angle\rm BCD\), \(\angle\rm CDF=\frac12 \cdot \angle\rm CDE\)이므로 \(\angle\rm FCD=\angle\rm CDF\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm FC}=\overline{\rm FD}\)이다. [I권 명제 6]

같은 방법으로 \(\overline{\rm FA}=\overline{\rm FC}=\overline{\rm FD}\), \(\overline{\rm FB}=\overline{\rm FC}=\overline{\rm FD}\), \(\overline{\rm FE}=\overline{\rm FC}=\overline{\rm FD}\)임을 보일 수 있다. 그러므로 다섯 선분 \(\rm FA\), \(\rm FB\), \(\rm FC\), \(\rm FD\), \(\rm FE\)는 \(\overline{\rm FA}=\overline{\rm FB}=\overline{\rm FC}=\overline{\rm FD}=\overline{\rm FE}\)이다.

그러므로 중심을 점 \(\rm F\)로 반지름을 \(\overline{\rm FA}\), \(\overline{\rm FB}\), \(\overline{\rm FC}\), \(\overline{\rm FD}\), \(\overline{\rm FE}\) 중 하나로 하는 원을 그리면 나머지 점들도 지나며 외접하게 된다.

이 외접하는 원을 원 \(\rm ABCDE\)라 할 수 있다.

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그러므로 주어진 모든 변의 길이가 같고 모든 각의 크기가 같은 정오각형에 외접하는 원을 그릴 수 있다.

Q.E.D.