IV 권
명제
주어진 모든 변의 길이가 같고 모든 각의 크기가 같은 정오각형에 내접하는 원을 그릴 수 있다.
모든 변의 길이가 같고 모든 각의 크기가 같은 주어진 정오각형 \(\rm ABCDE\)에 내접하는 원을 그릴 수 있다.
모든 변의 길이가 같고 모든 각의 크기가 같은 주어진 정오각형 \(\rm ABCDE\)가 있다.
그러면 정오각형 \(\rm ABCDE\)에 내접하는 원을 그릴 수 있음을 보이자.
모든 변의 길이가 같고 모든 각의 크기가 같은 주어진 정오각형 \(\rm ABCDE\)가 있다.
두 각 \(\rm BCD\), \(\rm CDE\)의 각각의 각 이등분선 \(\rm CF\), \(\rm DF\)를 그리자. [I권 명제 9] 이 두 각이등분선 \(\rm CF\), \(\rm DF\)의 교점을 \(\rm F\)라 하자. 그리고 점 \(\rm F\)에서 세 선분 \(\rm FA\), \(\rm FB\), \(\rm FE\)를 그리자.
그러면 두 삼각형 \(\rm BCF\), \(\rm DCF\)는 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm CD}\), \(\overline{\rm CF}\)는 공통, \(\angle\rm BCF=\angle\rm DCF\)이므로 합동(SSS 합동)이다. 따라서 두 기선 \(\rm BF\), \(\rm DF\)는 \(\overline{\rm BF}=\overline{\rm DF}\)이고 또한 나머지 각들도 같다. 즉, 같은 길이의 변들과 마주보는 각들의 크기가 같다. [I권 명제 4]
그러므로 \(\angle\rm CBF=\angle\rm CDF\)이다.
그리고 \(\angle\rm CDE=2\cdot\angle\rm CDF\), \(\angle\rm CDE=\angle\rm ABC\), \(\angle\rm CDF=\angle\rm CBF\)이므로 \(\angle\rm CAB=2\cdot\angle\rm CBF\)이다. 그러므로 \(\angle\rm ABF=\angle\rm FBC\)이다. 따라서 각 \(\rm ABC\)는 각이등분선 \(\rm BF\)에 의해서 각이 이등분된다.
같은 방법으로 각 \(\rm BAE\)와 각 \(\rm AED\)도 각각 각이등분선 \(\rm FA\), \(\rm FE\)에 의해서 각이 이등분됨을 보일 수 있다.
선분들 \(\rm AB\), \(\rm BC\), \(\rm CD\), \(\rm DE\), \(\rm EA\)에 수직이 되도록 점 \(\rm F\)에서 각각 선분들 \(\rm FG\), \(\rm FH\), \(\rm FK\), \(\rm FL\), \(\rm FM\)을 그리자.
그러면 두 삼각형 \(\rm FHC\), \(\rm FKC\)는 \(\angle\rm HCF=\angle\rm KCF\), \(\angle\rm FHC=\angle\rm FKC=90^\circ\), \(\overline{\rm FC}\)는 공통이므로 합동(ASA 합동)이다. 그러므로 나머지 변들의 길이가 같고 나머지 각의 크기도 같다. [I권 명제 26] 그러므로 두 수직선 \(\rm FH\), \(\rm FK\)는 \(\overline{\rm FH}=\overline{\rm FK}\)이다.
같은 방법으로 세 선분 \(\rm FL\), \(\rm FM\), \(\rm FG\)는 각각 \(\overline{\rm FL}=\overline{\rm FH}=\overline{\rm FK}\), \(\overline{\rm FM}=\overline{\rm FH}=\overline{\rm FK}\), \(\overline{\rm FG}=\overline{\rm FH}=\overline{\rm FK}\) 임을 보일 수 있다. 그러므로 다섯 선분들 \(\rm FG\), \(\rm FH\), \(\rm FK\), \(\rm FL\), \(\rm FM\)은 \(\overline{\rm FG}=\overline{\rm FH}=\overline{\rm FK}=\overline{\rm FL}=\overline{\rm FM}\)이다.
그러므로 중심이 점 \(\rm F\)이고 반지름이 \(\overline{\rm FG}\), \(\overline{\rm FH}\), \(\overline{\rm FK}\), \(\overline{\rm FL}\), \(\overline{\rm FM}\) 중 하나인 원을 그리면 나머지 점들도 지난다. 그리고 \(\angle\rm FGA=\angle\rm FGB=90^\circ\), \(\angle\rm FHB=\angle\rm FHC=90^\circ\), \(\angle\rm FKC=\angle\rm FKD=90^\circ\), \(\angle\rm FLD=\angle\rm FLE=90^\circ\), \(\angle\rm FME=\angle\rm FMA=90^\circ\)이므로 선분들 \(\rm AB\), \(\rm BC\), \(\rm CD\), \(\rm DE\), \(\rm EA\)는 이 원은 접한다.
만약 이 원이 선분들에 접하지 않고 선분들을 자르고 지난다면 원의 지름의 끝 점에서 지름과 직각이 되도록 그은 선분이 원 안쪽을 지나게 된다. 이것은 불가능하다.[III권 명제 16]
그러므로 중심이 \(\rm F\)이고 반지름이 \(\overline{\rm FG}\), \(\overline{\rm FH}\), \(\overline{\rm FK}\), \(\overline{\rm FL}\), \(\overline{\rm FM}\) 중 하나인 원은 선분들 \(\rm AB\), \(\rm BC\), \(\rm CD\), \(\rm DE\), \(\rm EA\)를 자르지 않으며 이 선분들에 접한다.
이 원을 원 \(\rm GHKLM\)이라고 할 수 있다.
그러므로 주어진 모든 변의 길이가 같고 모든 각의 크기가 같은 정오각형에 내접하는 원을 그릴 수 있다.
Q.E.D.
정오각형에 내접하는 원을 그리는 방법은 정각형에 원을 내접시키는 방법으로 일반화된다. 원의 중심을 찾기 위해서는 각들 중 두 개의 각을 각을 이등분하는 두 각이등분선을 그리고 그 교점이 중심이 된다. 그런 다음 그 중심에서 변들 중 한 변에 수직인 선분을 그린다. 그 수선의 발은 원 둘에 있는 점이다.
증명의 첫 부분에 있는 작ㄷ와 진술은 정오각형에 외접하는 원을 그리는 다음 명제와 같다.