IV 권
명제
주어진 원에 내접하는 모든 변의 길이가 같고 모든 내각의 크기가 같은 오각형 즉, 정오각형을 작도할 수 있다.
주어진 원 \(\rm ABCDE\)에 내접하는 모든 변의 길이가 같고 모든 내각의 크기가 같은 오각형 \(\rm ABCDE\) 즉, 정오각형 \(\rm ABCDE\)를 작도 할 수 있다.
주어진 원 \(\rm ABCDE\)가 있다.
그러면 원 \(\rm ABCDE\)에 내접하는 모든 변의 길이가 같고 모든 내각이 같은 정오각형 \(\rm ABCDE\)를 작도 할 수 있음을 보이자.
주어진 원 \(\rm ABCDE\)가 있다.
1) 모든 변의 길이가 같음을 보이자.
두 밑각 \(\rm G\), \(\rm H\)가 \(\angle\rm G=\angle\rm H=2\cdot\angle\rm F\)인 이등변삼각형 를 작도하자. [IV권 명제 10] 각각 \(\angle\rm CAD=\angle\rm F\), \(\angle\rm ACD=\angle\rm G\), \(\angle\rm CDA=\angle\rm H\)가 되도록 삼각형 \(\rm FGH\)와 닮음 삼각형 \(\rm ACD\)를 원 \(\rm ABCDE\)에 내접시키자. [IV권 명제 2] 그러면 \(\angle\rm ACD=\angle\rm CDA=2\cdot\angle\rm CAD\)이다.
두 각 \(\rm ACD\), \(\rm CDA\)를 각각 각을 이등분하는 각이등분선을 그리고 그 각이등분선과 원과의 교점을 각각 \(\rm E\), \(\rm B\)라고 하자. 두 선분 \(\rm CE\), \(\rm DB\)를 그리자. 그리고 네 선분 \(\rm AB\), \(\rm BC\), \(\rm DE\), \(\rm EA\)를 그리자. [I권 명제 9]
그러면 \(\angle\rm ACD=\angle\rm CDA=2\cdot\angle\rm CAD\)이고, 두 각 \(\rm ACD\), \(\rm CDA\)를 각각 두 선분 \(\rm CE\), \(\rm DB\)가 각을 이등분하므로 \(\angle\rm DAC=\angle\rm ACE=\angle\rm ECD=\angle\rm CDB=\angle\rm BDA\)이다.
그러나 원주각이 같으면 호의 길이도 같으므로 \(\overset{\frown}{\rm AB}=\overset{\frown}{\rm BC}=\overset{\frown}{\rm CD}=\overset{\frown}{\rm DE}=\overset{\frown}{\rm DA}\)이다. [III권 명제 26]
원이 같은 원둘레 길이로 잘려진 할선 길이는 같으므로 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm BC}=\overline{\rm CD}=\overline{\rm DE}=\overline{\rm EA}\)이다. 그러므로 오각형 \(\rm ABCDE\)의 모든 변의 길이가 같다.[III권 명제 29]
2) 모든 내각의 크기가 같음을 보이자.
\(\overset{\frown}{\rm AB}=\overset{\frown}{\rm DE}\)이므로 양변에 각각 \(\overset{\frown}{\rm BCD}\)를 더하자.
\(\overset{\frown}{\rm AB}+\overset{\frown}{\rm BCD}=\overset{\frown}{\rm DE}+\overset{\frown}{\rm BCD}\)
\(\overset{\frown}{\rm ABCD}=\overset{\frown}{\rm EDCB}\)
이다.
그리고 호 \(\rm ABCD\)의 대응하는 원주각 \(\rm AED\)와 호 \(\rm EDCB\)의 대응하는 원주각 \(\rm BAE\)는 \(\angle\rm AED=\angle\rm BAE\)이다. [III권 명제 27]
같은 이유로 \(\angle\rm ABC=\angle\rm BCD=\angle\rm CDE\)이다. 그러므로 \(\angle\rm ABC=\angle\rm BCD=\angle\rm CDE=\angle\rm BAE=\angle\rm AED\)이다. 따라서 오각형 \(\rm ABCDE\)의 모든 내각이 같다. 따라서 오각형 \(\rm ABCDE\)는 주어진 원 \(\rm ABCDE\)에 내접하며 모든 변의 길이가 같고 모든 내각이 같은 정오각형이다.
그러므로 주어진 원에 내접하는 모든 변의 길이가 같고 모든 내각의 크기가 같은 오각형 즉, 정오각형을 작도할 수 있다.
Q.E.D.
아래의 작도는 지루하게 수행하는 위 명제의 작도보다 낮다. 처음으로 [II권 명제 11]의 작도를 따라 선분을 자른다. 다음으로 [IV권 명제 10]을 이용하여 세 각이 \(36^\circ\), \(72^\circ\), \(72^\circ\)인 이등변삼각형을 작도한다. 그 다음 이 이등변삼각형을 [IV권 명제 2]를 이용하여 주어진 원 안에 내접시킨다. 마지막으로 변을 더 그려서 정오각형을 작도한다.
프톨레미(Ptolemy)처럼 다른 다양한 방법이 있다. 가장 멋진 것 중 하나는 1893년 H. W. 리치몬드(H. W. Richmond)의 작도 방법이다. 원에 정오각형을 내접시키기 위해서 첫 번째로 중심이 \(\rm O\)이고 반지름이 \(\overline{\rm OA}\) 또는 \(\overline{\rm OB}\)인 원에서 두 선분 \(\rm OA\), \(\rm OB\)를 수직이 되도록 그린다. 선분 \(\rm OB\)의 중점 \(\rm C\)를 잡고 선분 \(\rm AC\)를 그린다. 각 \(\rm ACO\)의 각이등분선과 선분 \(\rm OA\)와 교점을 \(\rm E\)라 하고 선분 \(\rm DE\)를 그리자. 그러면 선분 \(\rm AE\)는 정오각형의 한 변이 된다. 나머지 변들을 작도하면 된다.
이 쉬운 리치몬드 작도 방법은 삼각법에 의해서 정당화 할 수 있다.
이 명제로 정오각형 \(\rm ABCDE\)가 작도 되었다고 하자.
정오각형의 대각선을 그려서 정오각형 내부에 정별오각형(regular star pentagon) \(\rm ABCDE\)를 그리자. 이 대각선들의 교점들을 연결하면 정오각형에 외접하는 원의 같은 중심을 갖는 작은 정오각형의 형태이다. 정오각형의 대각선들은 다시 안쪽에 더 깊숙이 더 작은 정오각형을 작도 할 수 있다.
해석학적으로 분석하기 위해서 \(d_1\), \(s_1\)을 처음 정오각형 \(\rm ABCDE\)의 대각선과 한 변의 길이라고 하자. 다시 \(d_2\), \(s_2\)를 두 번째 정오각형 \(\rm FGHKL\)의 대각선과 한 변의 길이라고 하자. 이 후 계속해서 같은 방법으로 정의하자.
삼각형 밑변 \(\rm CD\)에 평행한 선분 즉, 선분 \(\rm BE\), \(\rm LG\) 뿐만 아니라 작은 정오각형에서 셀 수 없이 무한히 많다. 이것은 큰 삼각형 \(\rm ACD\) 외에도 세 각이 \(36^\circ\), \(72^\circ\), \(72^\circ\)인 삼각형이 무한히 많다는 것을 의미한다. 이러한 삼각형은 다음으로 작은 삼각형 \(\rm ALG\)이고 그 다음은 삼각형 \(\rm FKH\)이고 닮음 삼각형이 더 많이 있다. 또한 이러한 다양한 크기의 세 각이 \(36^\circ\), \(72^\circ\), \(72^\circ\)인 삼각형들은 그림에서 합동인 삼각형들도 있다. 예를 들어 삼각형 \(\rm AGL\)와 삼각형 \(\rm EAK\)는 합동이다.
세 각이 \(36^\circ\), \(36^\circ\), \(108^\circ\)인 둔각이등변삼각형도 역시 다양한 크기로 연속적으로 존재한다.
이들 모든 평행한 선분과 닮음 삼각형은 정오각형의 여러 대각선과 옆 변 사이의 수 많은 관계식을 산출한다. 이러한 관계의 한 가지가 아래와 같은 덧셈 방정식이다.
\(d_1=s_1+d_2\)
\(s_1=d_2+s_2\)
\(d_2=s_2+d_3\)
\(s_2=d_3+s_3\)
\(\cdots\)
다른 관계들은 [X권 명제 10]에서 정오각형 작도에서 사용된 세 각이 \(36^\circ\), \(72^\circ\), \(72^\circ\)인 삼각형 성질에 기초를 두고 있다. 즉, 이러한 삼각형이 밑변의 제곱은 옆 변 길이와 밑변 길이의 차이에 옆 변의 길이를 곱한 것과 같다는 것이다. 정오각형의 대각선과 옆 변에 항들에 관련하여 아래와 같은 방정식이 성립한다.
\(d_1d_2=s_1^2\)
\(s_1s_2=d_2^2\)
\(d_2d_3=s_2^2\)
\(s_2s_3=d_3^2\)
\(\cdots\)
비율 이론이 V권과 VI권에서 개발된 후에는 아래와 같은 연속적인 비율의 관계 목록을 추가 할 수 있다.
\(d_1:s_1=s_1:d_2=d_2:s_2=s_2:d_3=\cdots\)
정오각형의 대각선 및 옆 변이 같은 단위로 측정할 수 없다는 것(incommensurable)을 보여주는 [X권 명제 2]의 부연설명을 참고하여라. 좀 더 현대적인 관점에서 보면 ‘황금비’라고 불리는 수는 무리수라는 것이다.
이 작도는 다음 명제에서 원을 중심으로 정오각형을 둘러서 선분을 그리는데 사용되고 후에 [IV권 명제 16]에서 정15각형을 작도하는데 사용된다. 또한 [XIII권 명제 16]에서는 20개의 면이 모두 정삼각형인 정20면체의 작도에 사용된다. 놀랍게도 [XII권 명제 17]에서는 12개의 면이 모두 정오각형인 정12면체를 작도하는데는 사용되지 않는다. 그것에 필요한 정오각형은 이 명제의 도움 없이도 공간에서 직접 만들어진다.