IV 권
명제
두 밑각 각각의 크기가 나머지 한 각의 크기의 두 배가 되는 이등변삼각형을 작도 할 수 있다.
두 밑각이 \(\rm B\), \(\rm D\)이고 \(\angle\rm B=\angle\rm D=2\cdot \angle\rm A\)인 이등변삼각형 \(\rm ABD\)를 작도 할 수 있다.
두 각 \(\rm B\), \(\rm D\)이고 \(\angle\rm B=\angle\rm D=2\cdot \angle\rm A\)인 이등변삼각형 \(\rm ABD\)를 작도 할 수 있음을 보이자.
두 밑각이 \(\rm B\), \(\rm D\)이고 \(\angle\rm B=\angle\rm D=2\cdot \angle\rm A\)이다.
임의의 선분 \(\rm AB\)를 그리자. \(\overline{\rm AB}\times\overline{\rm BC}={\overline{\rm CA}}^2\)이 되도록 선분 \(\rm AB\) 위에 점 \(\rm C\)를 잡자. [II권 명제 11] 중심이 점 \(\rm A\)이고 반지름이 \(\overline{\rm AB}\)인 원 \(\rm BDE\)를 그리자. \(\overline{\rm BD}\)는 원 \(\rm BDE\)의 지름보다 작아 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm BD}\)가 되도록 원 \(\rm BDE\)에 선분 \(\rm BD\)를 걸쳐 놓자. [IV권 명제 1] 두 선분 \(\rm AD\), \(\rm DC\)를 그리자. 그리고 삼각형 \(\rm ACD\)에 외접하도록 원 \(\rm ACD\)를 그리자. [IV권 명제 5]
그러면 \(\overline{\rm AB}\times\overline{\rm BC}={\overline{\rm AC}}^2\)이고 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm BD}\)이므로 \(\overline{\rm AB}\times\overline{\rm BC}={\overline{\rm BD}}^2\)이다.
점 \(\rm B\)는 원 \(\rm ACD\) 밖에 있으므로, 점 \(\rm B\)에서 그은 두 선분 \(\rm BA\), \(\rm BD\)는 원 \(\rm ACD\)에 걸친다. 그리고 선분 \(\rm BA\)는 원 \(\rm ACD\)를 자르고 선분 \(\rm BD\)는 원 \(\rm ACD\)에 걸쳐 있다. 그런데 \(\overline{\rm AB}\times\overline{\rm BC}={\overline{\rm BD}}^2\)이므로 선분 \(\rm BD\)는 원 \(\rm ACD\)에 접한다. [III권 명제 37]
선분 \(\rm BD\)는 원 \(\rm ACD\)에 접하고, 선분 \(\rm D\)는 접점 \(\rm D\)에 그은 선분이므로 각 \(\rm BDC\)와 반대쪽 활꼴 내부 원주각 \(\rm DAC\)는 \(\angle\rm BDC=\angle\rm DAC\)이다. [III권 명제 32]
\(\angle\rm BDC=\angle\rm DAC\)의 양변에 \(\angle\rm CDA\)를 각각 더하자.
\(\angle\rm BDC+\angle\rm CDA=\angle\rm DAC+\angle\rm CDA\)
\(\angle\rm BDA=\angle\rm CDA+\angle\rm DAC\)
그런데 외각 \(\rm BCD\)는 \(\angle\rm BCD=\angle\rm CDA+\angle\rm DAC\)이다. [I권 명제 32] 그러므로 \(\angle\rm BDA=\angle\rm BCD\)이다.
그런데 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AD}\)이므로 \(\angle\rm BDA=\angle\rm CBD\)이다. 그래서 \(\angle\rm BDA=\angle\rm BCD\)이다. [I권 명제 5] 따라서 \(\angle\rm BDA=\angle\rm DBA=\angle\rm BCD\)이다.
그리고 \(\angle\rm BDC=\angle\rm BCD\)이므로 \(\overline{\rm BD}=\overline{\rm DC}\)이다. [I권 명제 6]
그러나 \(\overline{\rm BD}=\overline{\rm CA}\)가 되도록 가정을 하였으므로 \(\overline{\rm CA}=\overline{\rm CD}\)이다. 그래서 \(\angle\rm CDA=\angle\rm DAC\)이다. 그러므로 \(\angle\rm CDA+\angle\rm DAC=2\cdot \angle\rm DAC\)이다. [I권 명제 5]
그리고 \(\angle\rm BCD=\angle\rm BDA=\angle\rm DBA\)이므로 \(\angle\rm BCD=2\cdot \angle\rm CDA\)이다.
그러나 \(\angle\rm BCD=\angle\rm BDA=\angle\rm DBA\)이다. 그러므로 \(\angle\rm BDA=\angle\rm DBA=2\cdot \angle\rm DAB\)이다.
따라서 작도한 이등변삼각형 \(\rm ABD\)는 밑변 \(\rm DB\)로 하는 두 밑각 각각은 나머지 한 각의 두 배이다.
그러므로 두 밑각 각각의 크기가 나머지 한 각의 크기의 두 배가 되는 이등변삼각형을 작도 할 수 있다.
Q.E.D.
이 명제의 목표는 세 각이 \(36^\circ\), \(72^\circ\), \(72^\circ\)인 이등변삼각형 \(\rm ABD\)를 작도하는 것이다. 실제로는 주어진 선분 \(\rm AB\)에 의해서 작도를 할 수 있다. 기선이 선분 \(\rm AB\)가 점 \(\rm C\)에 의해서 잘려지고 \(\overline{\rm AB}\times\overline{\rm BC}={\overline{\rm AC}}^2\)를 만족하는 두 선분 중 큰 선분과 그 길이가 같다. 주어진 선분을 잘라서 작도하는 것은 [II권 명제 11]에서 보였다. 증명의 어려운 점은 작도가 원하는 삼각형을 작도하는 것을 보여주는 것이다. 그 점 \(\rm C\)에서 선분 \(\rm AB\)를 절단하는 것은 “황금비(extreme and mean ratio, 외중비, 극단 및 평균 비율)”로 선분을 절다하는 것이다. 황금비의 정의는 [VI권 정의 3]을 보고 그것에 대한 성질은 [VI권 명제 30]을 참고하여라.
유클리드는 III권의 원 이론을 놀라울 만큼 많이 사용하였다. 원 \(\rm ACD\)를 그린 후에 \(\overline{\rm AB}\times\overline{\rm BC}={\overline{\rm DB}}^2\)를 보이는데 [III권 명제 37]를 사용하였다. 선분 \(\rm DB\)는 원에 접선이다. 다음으로 그는 접선 \(\rm DB\)와 현 \(\rm DC\) 사이의 각 \(\rm BDC\)가 해당 현을 자르는 각 \(\rm CAD\)와 같다는 결론을 내리기 위해서 [III권 명제 32]를 사용하였다.
이 점에서 유클리드는 점 \(\rm D\)에서의 두 개의 각 중 하나가 즉 각 \(\rm BDC\)와 각 \(\rm A\)가 \(\angle\rm BDC=\angle\rm A\)임을 보였다. 그는 \(\angle\rm CDA=\angle\rm A\)임을 보이면 삼각형 \(\rm ABD\)가 이등변삼각형이기 때문에 삼각형 \(\rm ABD\)의 두 밑변의 각이 각각 꼭짓점 각 \(\rm A\)의 두 배라는 것을 보임으로써 증명을 완성하였다.
나머지는 비교적 쉽다. 첫 번째로 작은 삼각형 \(\rm BCD\)도 이등변삼각형이므로 아래의 각에 대한 식을 보일 수 있다.
\(\angle\rm B=\angle\rm BDA+\angle\rm BDC+\angle\rm CDA\)
\(=\angle\rm CAD+\angle\rm CDA=\angle\rm BCD\)
그러므로 두 변 \(\rm CD\), \rm BD\)는 \(\overline{\rm CD}=\overline{\rm BD}\)이다. 그러나 원래의 작도에서 \(\overline{\rm BD}=\overline{\rm CA}\)이다. 따라서 삼각형 \(\rm ADC\)도 역시 이등변삼각형이다. 그러므로 \(\angle\rm CDA=\angle\rm A\)이기도 하다.
유클리드라면 이 명제의 진술과 증명을 둘로 나눌 수도 있었을 것이다. 첫 번째 부분은 만약 이등변삼각형의 밑변이 자신의 옆 변의 일부분의 선분과 같고 그 밑변의 제곱은 옆 변과 옆 변의 나머지 변으로 만든 직사각형의 넓이와 같으면 이등변삼각형 각각의 밑각은 꼭짓점 각의 두 배라고 명시할 것이다. 이 [IV권 명제 10]의 대부분의 증명은 사실 이 첫 번째 부분의 증명이다. 다른 부분은 작도에 대한 것이다.
유클리드가 언급하지 않은 것은 명제의 역이다. 다시 말하면 “이등변삼각형의 두 밑각이 각각 꼭짓점 각의 두 배이면 밑변과 옆 변의 일부분의 선분과 같고, 그 밑변의 제곱은 옆 변과 옆 변의 나머지 변으로 만든 직사각형의 넓이와 같다” 즉, \(36^\circ\), \(72^\circ\), \(72^\circ\)인 이등변삼각형을 만족한다.
이 명제에서 작도된 삼각형 \(\rm ABD\)는 정10각형의 10개의 삼각형 조각 중 하나이다. 따라서 이 명제의 작도는 원에 내접하는 정10각형을 작도하는 가장 적은 단계의 작도이다. 정10각형의 꼭짓점을 한 칸씩 건너 띄어서 연결하면 원 안에 내접하는 정오각형이 만들어진다. 유클리드는 다음 명제에서 선택한 작도보다 이러한 작도를 왜 사용하지 않았는지는 불분명하다.
닮음 삼각형과 관련된 또 다른 증명
비례(비율)에 의존하지 않는 최초의 네 권의 책에 자신이 할 수 있는 많은 명제를 포함시키기 위해 일치된 노력을 기울인 것은 아마도 유클리드였을 것이다. 닮음 삼각형 이론은 V권에서 비례 이론에 의존하는 VI권까지는 진술되지 않는다. 유클리드가 이 명제에 대해 제시한 영리한 증명은 닮음 삼각형에 의존하지 않으므로 여기 IV권에 실을 수 있었다. 그러나 닮음 삼각형에 의존하는 더 간단한 증명이 있다.
유클리드가 한 것처럼 \(\overline{\rm AB}\times\overline{\rm BC}={\overline{\rm CA}}^2\)가 되도록 선분 \(\rm AB\)를 그 위의 점 \(\rm C\)에 의해서 잘단 된다. 달리 말하면, 선분 \(\rm AB\)는 그 위의 점 \(\rm C\)에 의해서 황금비로 절단된다. 즉, \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}=\overline{\rm AC}:\overline{\rm BC}\)의 비율을 만족한다. [IV권 정의 3], [VI권 명제 17, 명제 30]을 참고하여라. 다음으로 한 변 \(\rm AB\)로 이등변삼각형을 작도하고 두 번째 변 \(\rm AD\)는 \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm AB}\)이고, 밑변 \(\rm BD\)는 \(\overline{\rm BD}=\overline{\rm AC}\)가 되도록 작도한다. [I권 명제 22] 그러면 \(\overline{\rm AD}:\overline{\rm BD}=\overline{\rm BD}:\overline{\rm BC}\)를 만족한다. 따라서 두 삼각형 \(\rm ADB\), \(\rm DBC\)는 첫 번째 삼각형 각 \(\rm D\)와 두 번째 삼각형 각 \(\rm B\)는 \(\angle\rm D=\angle\rm B\)로 한 각이 같고 같은 각의 옆 변에 대해 비례 한다. 따라서 [VI권 명제 6]에 의해 이러한 삼각형은 대응하는 각이 같다. 두 삼각형이 모두 각각 꼭짓점의 두 배인 두 밑각을 가진다는 것은 쉽게 보일 수 있다.
유클리드라면 이 명제의 진술과 증명을 둘로 나눌 수도 있었을 것이다. 첫 번째 부분은 만약 이등변삼각형의 밑변이 자신의 옆 변의 일부분의 선분과 같고 그 밑변의 제곱은 옆 변과 옆 변의 나머지 변으로 만든 직사각형의 넓이와 같으면 이등변삼각형 각각의 밑각은 꼭짓점 각의 두 배라고 명시할 것이다. 이 [IV권 명제 10]의 대부분의 증명은 사실 이 첫 번째 부분의 증명이다. 다른 부분은 작도에 대한 것이다.
유클리드가 언급하지 않은 것은 명제의 역이다. 다시 말하면 “이등변삼각형의 두 밑각이 각각 꼭짓점 각의 두 배이면 밑변과 옆 변의 일부분의 선분과 같고, 그 밑변의 제곱은 옆 변과 옆 변의 나머지 변으로 만든 직사각형의 넓이와 같다” 즉, \(36^\circ\), \(72^\circ\), \(72^\circ\)인 이등변삼각형을 만족한다.
이 명제에서 작도된 삼각형 \(\rm ABD\)는 정10각형의 10개의 삼각형 조각 중 하나이다. 따라서 이 명제의 작도는 원에 내접하는 정10각형을 작도하는 가장 적은 단계의 작도이다. 정10각형의 꼭짓점을 한 칸씩 건너 띄어서 연결하면 원 안에 내접하는 정오각형이 만들어진다. 유클리드는 다음 명제에서 선택한 작도보다 이러한 작도를 왜 사용하지 않았는지는 불분명하다.
비례(비율)에 의존하지 않는 최초의 네 권의 책에 자신이 할 수 있는 많은 명제를 포함시키기 위해 일치된 노력을 기울인 것은 아마도 유클리드였을 것이다. 닮음 삼각형 이론은 V권에서 비례 이론에 의존하는 VI권까지는 진술되지 않는다. 유클리드가 이 명제에 대해 제시한 영리한 증명은 닮음 삼각형에 의존하지 않으므로 여기 IV권에 실을 수 있었다. 그러나 닮음 삼각형에 의존하는 더 간단한 증명이 있다.
유클리드가 한 것처럼 \(\overline{\rm AB}\times\overline{\rm BC}={\overline{\rm CA}}^2\)가 되도록 선분 \(\rm AB\)를 그 위의 점 \(\rm C\)에 의해서 잘단 된다. 달리 말하면, 선분 \(\rm AB\)는 그 위의 점 \(\rm C\)에 의해서 황금비로 절단된다. 즉, \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}=\overline{\rm AC}:\overline{\rm BC}\)의 비율을 만족한다. [IV권 정의 3], [VI권 명제 17, 명제 30]을 참고하여라. 다음으로 한 변 \(\rm AB\)로 이등변삼각형을 작도하고 두 번째 변 \(\rm AD\)는 \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm AB}\)이고, 밑변 \(\rm BD\)는 \(\overline{\rm BD}=\overline{\rm AC}\)가 되도록 작도한다. [I권 명제 22] 그러면 \(\overline{\rm AD}:\overline{\rm BD}=\overline{\rm BD}:\overline{\rm BC}\)를 만족한다. 따라서 두 삼각형 \(\rm ADB\), \(\rm DBC\)는 첫 번째 삼각형 각 \(\rm D\)와 두 번째 삼각형 각 \(\rm B\)는 \(\angle\rm D=\angle\rm B\)로 한 각이 같고 같은 각의 옆 변에 대해 비례 한다. 따라서 [VI권 명제 6]에 의해 이러한 삼각형은 대응하는 각이 같다. 두 삼각형이 모두 각각 꼭짓점의 두 배인 두 밑각을 가진다는 것은 쉽게 보일 수 있다.
이 작도는 원에 내접하는 정오각형을 작도하는 다음 명제에 사용된다.