II 권
명제
주어진 선분을 길이가 같도록 두 선분으로 자르고, 또한 같은 주어진 선분을 길이가 같지 않은 두 선분으로 자르면, 길이가 같지 않게 자른 두 선분으로 각각 만든 정사각형 넓이의 합은, 길이가 같은 한 선분으로 만든 정사각형 넓이와 자른 두 점 사이의 선분으로 만든 정사각형의 넓이의 합의 두 배를 한 것과 같다.
주어진 선분 \(\rm AB\)를 중점 \(\rm C\)로 분할하고 중점이 아닌 선분 위의 다른 점 \(\rm D\)로 분할하면, 두 선분 \(\rm AD\)와 \(\rm DB\)를 각각 한 변으로 하는 정사각형들의 넓이의 합은 두 선분 \(\rm AC\)와 \(\rm CD\)를 각각 한 변으로 하는 정사각형들의 넓이의 합의 두 배이다. 즉, \(\overline{\rm AD}^2+\overline{\rm DB}^2=2\left(\overline{\rm AC}^2+\overline{\rm CD}^2\right)\)이다.
주어진 선분 \(\rm AB\)를 중점 \(\rm C\)로 분할하고 중점이 아닌 선분 위의 다른 점 \(\rm D\)로 분할하자.
그러면, 두 선분 \(\rm AD\)와 \(\rm DB\)를 각각 한 변으로 하는 정사각형들의 넓이의 합은 두 선분 \(\rm AC\)와 \(\rm CD\)를 각각 한 변으로 하는 정사각형들의 넓이의 합의 두 배임을 보이자. 즉, \(\overline{\rm AD}^2+\overline{\rm DB}^2=2\left(\overline{\rm AC}^2+\overline{\rm CD}^2\right)\)임을 보이자.
선분 \(\rm AB\)에 수직이고 점 \(\rm C\)로부터 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm CE}\)인 선분 \(\rm CE\)를 그리자. 두 선분 \(\rm EA\)와 선분 \(\rm EB\)를 그리자. 선분 \(\rm EC\)에 평행하고 점 \(\rm D\)를 지나는 선분 \(\rm EB\) 위의 점 \(\rm F\)를 잡고 선분 \(\rm DF\)를 그리자. 또한 선분 \(\rm AB\)에 평행이고 점 \(\rm F\)를 지나는 선분 \(\rm EC\) 위의 점 \(\rm G\)를 잡고 선분 \(\rm GF\)를 그리자. 선분 \(\rm AF\)를 그리자. [I권 명제11, 명제 3, 명제 31]
그러면 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm CE}\)이므로, \(\angle\rm EAC=\angle\rm AEC\)이다. [I권 명제 5]
그리고 \(\angle\rm ACE=90^\circ\)이므로 \(\angle\rm EAC=\angle\rm AEC\)이고 \(\angle\rm ACE+\angle\rm EAC=90^\circ\)이다. [I권 명제 32]
따라서 \(\angle\rm CAE=\angle\rm CEA=45^\circ\)이다. ----①
같은 이유로 \(\angle\rm CEB=\angle\rm EBC=45^\circ\)이다. ----②
①과 ②에 의해서 \(\angle\rm AEB=90^\circ\)이다.
\(\angle\rm EGF=45^\circ\)이고 각 \(\rm EGF\)와 각 \(\rm ECB\)는 동위각으로 같으므로 \(\angle\rm EGF=\angle\rm ECB=90^\circ\)이다. 따라서 \(\angle\rm EFG=45^\circ\)이다. 그러므로 \(\angle\rm GEF=\angle\rm EFG\)이고 \(\overline{\rm EG}=\overline{\rm FG}\)이다. [I권 명제 29, 명제 32, 명제 6]
마찬가지로 \(\angle\rm B=45^\circ\), \(\angle\rm FDB=90^\circ\)이며, 각 \(\rm ECB\)와 각 \(\rm BFD\)는 동위각으로 같으므로 \(\angle\rm BFD=45^\circ\)이다. 그러므로 \(\angle\rm B=\angle\rm DFB\)이고 \(\overline{\rm FD}=\overline{\rm DB}\)이다. [I권 명제 29, 명제 32, 명제 6]
\(\overline{\rm AC}=\overline{\rm CE}\)이므로 \(\overline{\rm AC}^2=\overline{\rm CE}^2\)이다. 따라서 \(\overline{\rm Ac}^2+\overline{\rm CE}^2=2\cdot\overline{\rm AC}^2\)이다. 그러나 \(\angle\rm ACE=90^\circ\)이므로 \(\overline{\rm EA}^2=\overline{\rm AC}^2+\overline{\rm CE}^2\)이다. 따라서 \(\overline{\rm EA}^2=\overline{2\cdot \rm AC}^2\)이다. [I권 명제 47]
같은 이유로 \(\overline{\rm EG}=\overline{\rm GF}\)이므로 \(\overline{\rm EG}^2=\overline{\rm GF}^2\)이다. 그러나 \(\overline{\rm EG}^2+\overline{\rm GF}^2=2\overline{\rm GF}^2\)이므로 \(\angle\rm ECB=90^\circ\)이므로 \(\overline{\rm EF}^2=\overline{\rm EG}^2+\overline{\rm GF}^2\)이다. 따라서 \(\overline{\rm EF}^2=2\overline{\rm GF}^2\)이다. [I권 명제 47]
그런데 \(\overline{\rm GF}=\overline{\rm CD}\)이므로 \(\overline{\rm EF}^2=2\cdot\overline{\rm CD}\)이다. [I권 명제 34]
또한 \(\overline{\rm EA}^2=2\overline{\rm AC}\)이므로 \(\overline{\rm AE}^2+\overline{\rm EF}^2=2\left(\overline{\rm AC}^2+\overline{\rm CD}^2\right)\)이다.
그리고 \(\angle\rm AEF=90^\circ\)이므로 \(\overline{\rm AF}^2=\overline{\rm AE}^2+\overline{\rm EF}^2\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm AF}^2=2\left(\overline{\rm AC}^2+\overline{\rm CD}^2\right)\)이다. 또한 \(\angle\rm D=90^\circ\)이므로 \(\overline{\rm AD}^2+\overline{\rm DF}^2=\overline{\rm AF}^2\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm AD}^2+\overline{\rm DF}^2=\overline{\rm AE}^2+\overline{\rm EF}^2\)이다. [I권 명제 47]
그러므로 \(\overline{\rm DF}=\overline{\rm DB}\)이므로 \(\overline{\rm AD}^2+\overline{\rm DB}^2=2\left(\overline{\rm AC}^2+\overline{\rm CD}^2\right)\)이다.
그러므로 주어진 선분을 길이가 같도록 두 선분으로 자르고, 또한 같은 주어진 선분을 길이가 같지 않은 두 선분으로 자르면, 길이가 같지 않게 자른 두 선분으로 각각 만든 정사각형 넓이의 합은, 길이가 같은 한 선분으로 만든 정사각형 넓이와 자른 두 점 사이의 선분으로 만든 정사각형의 넓이의 합의 두 배를 한 것과 같다.
Q.E.D.
주어진 선분 \(\overline{\rm AB}\)를 중점 점 \(\rm C\)와 점 \(\rm C\)와 다른 점 \(\rm D\)로 자른다. 그리고 \(\overline{\rm AF}^2\)가 \(\overline{\rm AD}^2+\overline{\rm DB}^2\)와 \(2\left(\overline{\rm AC}^2+\overline{\rm CD}^2\right)\)이 동시에 같은 선분 \(\rm AF\)를 작도하는 것이다.
선분 \(\rm AB\)에 그 길이의 절반과 같은 선분 \(\rm CE\)를 그린다. 그리고 평행한 선분들과 점들을 연결하여 그림을 완성한다. 그러면 4개의 이등변 직각 삼각형인 삼각형 \(\rm ACE\), \(\rm ECB\), \(\rm EGF\), \(\rm FDB\)와 또 다른 2개의 직각 삼각형인 삼각형 \(\rm AEB\)와 \(\rm AEF\)를 얻는다. 그러면
\(\overline{\rm AF}^2=\overline{\rm AE}^2+\overline{\rm EF}^2=\left(\overline{\rm AC}^2+\overline{\rm CE}^2\right)+\left(\overline{\rm EG}^2+\overline{\rm GF}^2\right)=2\left(\overline{\rm AC}^2+\overline{\rm CD}^2\right)\)
이다. 또한 역시
\(\overline{\rm AF}^2=\overline{\rm AD}^2+\overline{\rm DF}^2=\overline{\rm AD}^2+\overline{\rm DB}^2\)
이다.
그러므로 \(\overline{\rm AD}^2+\overline{\rm DB}^2=2\left(\overline{\rm AC}^2+\overline{\rm CD}^2\right)\)이다.
이 명제까지, 유클리드는 잘라 내기 및 붙여 넣기 증명만 사용했으며 이러한 명제에 대해서도 그러한 증명을 할 수 있다. 주어진 선분 \(\rm AB\)는 점 \(\rm C\)에서 이등분되고 점 \(\rm D\)에 의해서도 잘라진다. 그런 다음 직각으로 선분 \(\rm AB\)와 평행 한 선분은 다양한 크기의 정사각형과 직사각형이 만들어 진다.
우리의 목표는 \(\overline{\rm AD}^2+\overline{\rm DB}^2=2\left(\overline{\rm AC}^2+\overline{\rm CD}^2\right)\)이다.
방정식의 왼쪽은 두 개의 정사각형 \(\rm ADFO\)와 정사각형 \(\rm RPFH\)의 넓이의 합 즉, (정사각형 \(\rm ADFO\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm RPFH\) 넓이)로 나타낸 것이다. 직사각형 \(\rm KMQO\)를 잘라내어 오른쪽으로 이동하여 직사각형 \(\rm MLPQ\)를 덮는다. 또한 정사각형 \(\rm CDNM\)을 직사각형 \(\rm MNHG\)까지 이동하여 덮는다. 이제 오른쪽 위 정사각형 \(\rm MLFG\)는 작은 정사각형 \(\rm MNRQ\)를 두 번 덮어진다. 즉, 두 정사각형 넓이 합인 \(\overline{\rm AC}^2+\overline{\rm CD}^2\)의 두배인 도형을 포함한다. 따라서 방정식의 양변이 같다.
방정식 \(\overline{\rm AD}^2+\overline{\rm DB}^2=2\left(\overline{\rm AC}^2+\overline{\rm CD}^2\right)\)을 대수적 표현을 나타내어 보자.
\(\overline{\rm AC}=\overline{\rm CB}=y\), \(\overline{\rm CD}=z\)라고 하면, 위 명제의 결론은 \(\left( y+z\right)^2+\left(y-z\right)^2=2\left(y^2 + z^2\right)\)인 항등식을 만족한다.
또한 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm CB}=y\), \(\overline{\rm DB}=x\)라고 하면, 위 명제는 \(\left(2y-x\right)^2+x^2=2\left(y^2+\left(y-x\right)^2\right)\)인 항등식을 만족한다.