II 권
명제
주어진 선분 위의 임의의 점을 잡아 선분을 나누자. 전체 선분과 나누어진 선분 중 한 선분으로 만든 직사각형 넓이의 4배에 나누어진 선분 중 나머지 선분으로 만든 정사각형 넓이의 합은 주어진 선분에 나누어진 선분 중 한 선분을 이어 합친 선분으로 만든 정사각형 넓이와 같다.
주어진 선분 \(\rm AB\) 위에 점 \(\rm C\)에 대하여, 선분 \(\rm AC\)와 \(\rm BC\)로 만든 직사각형의 넓이의 \(4\)배와 선분 \(\rm AC\)로 만든 정사각형의 넓이를 더하면, 선분 \(\rm AB\)에 선분 \(\rm BC\)를 더한 선분 \(\rm AD\)로 만든 정사각형의 넓이와 같다. 즉, \(4\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}+\overline{\rm AC}^2=\overline{\rm AD}^2\) (단,\(\overline{\rm AD}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\)이다.)
주어진 선분 \(\rm AB\) 위에 점 \(\rm C\)가 있다.
그러면, 선분 \(\rm AC\)와 \(\rm BC\)로 만든 직사각형의 넓이의 \(4\)배와 선분 \(\rm AC\)로 만든 정사각형의 넓이를 더하면, 선분 \(\rm AB\)에 선분 \(\rm BC\)를 더한 선분 \(\rm AD\)로 만든 정사각형의 넓이와 같음을 보이자. 즉, \(4\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}+\overline{\rm AC}^2=\overline{\rm AD}^2\)임을 보이자. (단,\(\overline{\rm AD}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\)이다.)
선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm B\)의 방향으로 연장하여 반직선 \(\overline{\rm BD}=\overline{\rm BC}\)인 점 \(\rm D\)를 잡고 선분 \(\rm BD\)를 그리자. 그림과 같이 선분 \(\rm AD\)를 한 변으로 하는 정사각형 \(\rm AEFD\)를 작도하자. [I권 명제 3, 명제 46, 명제 31]
\(\overline{\rm CB}=\overline{\rm GK}\), \(\overline{\rm BD}=\overline{\rm KN}\), \(\overline{\rm CB}=\overline{\rm BD}\)이므로
\(\overline{\rm GK}=\overline{\rm KN}\)
이다.
같은 방법으로 \(\overline{\rm QR}=\overline{\rm RP}\)이다. [I권 명제 34]
\(\overline{\rm BC}=\overline{\rm BD}\), \(\overline{\rm RK}=\overline{\rm KN}\) 이므로
(정사각형 \(\rm CGKB\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm BKND\) 넓이), (정사각형 \(\rm GQRK\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm RPNK\) 넓이)
이다. [I권 명제 36]
정사각형 \(\rm CGKB\)와 정사각형 \(\rm RPNK\)는 보완 평행사변형이므로
(정사각형 \(\rm KNDB\) 넓이)(정사각형 \(\rm GQRK\) 넓이)
이다. [I권 명제 43]
따라서 (정사각형 \(\rm BKND\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm CGKB\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm GQRK\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm KRPN\) 넓이)
이고
(정사각형 \(\rm BKND\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm CGKB\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm GQRK\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm KRPN\) 넓이)\(=4\cdot\)(정사각형 \(\rm CGKB\) 넓이)이다.
또한 \(\overline{\rm CB}=\overline{\rm BD}=\overline{\rm BK}=\overline{\rm CG}\)
이고
\(\overline{\rm CB}=\overline{\rm GK}=\overline{\rm GQ}\)이므로 \(\overline{\rm CG}=\overline{\rm GQ}\)
이다.
\(\overline{\rm CG}=\overline{\rm GQ}\), \(\overline{\rm QR}=\overline{\rm RP}\)
이므로
(직사각형 \(\rm AMGC\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm MOQG\) 넓이), (직사각형 \(QHLR\) 넓이)(직사각형 \(\rm RLFP\) 넓이)
이다.
직사각형 \(\rm MOQG\)와 직사각형 \(\rm QHLR\)은 평행사변형 \(\rm MELK\)에 대하여 보완 평행사변형이므로 (직사각형 \(\rm AMGC\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm RLFP\) 넓이)이다. [I권 명제 43]
그러므로 (직사각형 \(\rm AMGC\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm MOQG\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(QHLR\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm RLFP\) 넓이)
이고
(직사각형 \(\rm AMGC\) 넓이)\(+\)(직사각형 \(\rm MOQG\) 넓이)\(+\)(직사각형 \(QHLR\) 넓이)\(+\)(직사각형 \(\rm RLFP\) 넓이)\(=4\)(직사각형 \(\rm AMGC\) 넓이)
이다.
또한 (정사각형 \(\rm CGKB\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm KNDB\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(GQRK\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm RPNK\) 넓이)
이므로
(정사각형 \(\rm CGKB\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm KNDB\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(GQRK\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm RPNK\) 넓이)\(=4\)(정사각형 \(\rm CGKB\) 넓이)
이다.
그러므로
(그노몬 \(\rm STU\) 넓이)\(=4\)(정사각형 \(\rm AMKB\) 넓이)
이다. [I권 명제 43]
\(\overline{\rm BK}=\overline{\rm BD}\)이므로 (직사각형 \(\rm AMKB\) 넓이)\(=\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BD}\)
이고,
(그노몬 \(\rm STU\) 넓이)\(=4\)(정사각형 \(\rm AMKB\) 넓이)\(=4\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BD}\)
이다.
양변에 (정사각형 \(\rm OEHQ\) 넓이)\(=\overline{\rm AC}^2\)을 더하면
(그노몬 \(\rm STU\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm OEHQ\) 넓이)\(=4\)(정사각형 \(\rm AMKB\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm OEHQ\) 넓이)
\(4\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BD}=\overline{AD}^2\)
이다.
그런데 \(\overline{\rm BD}=\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\) 이므로 \(4\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}=\overline{\rm AD}^2\)이다.
그러므로 주어진 선분 위의 임의의 점을 잡아 선분을 나누자. 전체 선분과 나누어진 선분 중 한 선분으로 만든 직사각형 넓이의 4배에 나누어진 선분 중 나머지 선분으로 만든 정사각형 넓이의 합은 주어진 선분에 나누어진 선분 중 한 선분을 이어 합친 선분으로 만든 정사각형 넓이와 같다.
Q.E.D.
대수적으로 나타내어 보자. 그러며 이 명제는 ‘\(x=y+z\)이면 \(4xy+z^2=\left(x+y\right)^2\)이다.’과 같이 나타낼 수 있다.
\(z\)를 소거하기 위해서 \(z=x-y\)를 대입하면 \(4xy+\left(x-y\right)^2=\left(x+y\right)^2\)과 같은 항등식으로 항상 성립한다.