증명

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주어진 선분 \(\rm AB\) 위에 임의의 점을 \(\rm C\)가 있다.

그러면, 선분 \(\rm AB\)로 만든 정사각형과 선분 \(\rm BC\)로 만든 정사각형의 넓이의 합은, 선분 \(\rm AB\)와 선분 \(\rm BC\)를 각각 가로와 세로로 하는 직사각형의 넓이의 두 배에 선분 \(\rm AC\)로 만든 정사각형의 넓이를 더한 것과 같다는 것을 보이자. 즉, \(\overline{\rm AB}^2 + \overline{\rm BC}^2 = 2\cdot \overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}+\overline{\rm AC}^2\) 임을 보이자.

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주어진 선분 \(\rm AB\) 위의 점 \(\rm C\)를 잡자. 선분 \(\rm AB\)는 점 \(\rm C\)에 의해서 선분 \(\rm AC\)와 선분 \(\rm BC\)로 나누어진다.

위의 그림처럼 선분 \(\rm AB\)로 정사각형 \(\rm ADEB\)를 작도하자. [I권 명제 46, 명제 31]

그러면 (직사각형 \(\rm AHGC\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm GNEF\) 넓이) 인데 양변에 (정사각형 \(\rm CGFB\) 넓이)를 각각 더하자. 그러면

(직사각형 \(\rm AHFB\) 넓이)

\(=\)(직사각형 \(\rm AHBC\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm CGFB\) 넓이)

\(=\)(직사각형 \(\rm GNEF\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm CGFB\) 넓이)

\(=\)(직사각형 \(\rm CNEB\) 넓이)

이다. [I권 명제 43] 따라서

(직사각형 \(\rm AHFB\) 넓이)\(+\)(직사각형 \(\rm CNEB\) 넓이)\(=2\cdot\)(직사각형 \(\rm AHFB\) 넓이)

이다. 그리고,

(직사각형 \(\rm AHFB\) 넓이)\(+\)(직사각형 \(CNEB\) 넓이)\(=\)(그노몬 \(\rm KLM\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm CGFB\) 넓이)

이기 때문에

(그노몬 \(\rm KLM\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm CGFB\) 넓이)\(=2\cdot\)(직사각형 \(\rm AHFB\) 넓이)

이다. \(\overline{\rm BF}=\overline{\rm BC}\) 이므로

\(2\cdot\)(두 선분 \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm BC}\)로 만든 직사각형 넓이)

\(=2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}=2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BF}=2\cdot\)(직사각형 \(\rm AHFB\) 넓이)

\(=\)(그노몬 \(\rm KLM\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm CGFB\) 넓이)

이다. 양변에 (정사각형 \(\rm DNFH\) 넓이)\(=\overline{\rm AC}^2\)을 각각 더하자. 그러면

(정사각형 \(\rm ADEB\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm CGFB\) 넓이)

\(=\)(그노몬 \(\rm KLM\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm CGFB\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm DNGH\) 넓이)

\(=2\cdot\)(두 선분 \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm BC}\)로 만든 직사각형 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm DNGH\) 넓이)

이다. 따라서

\(\overline{\rm AB}^2 + \overline{\rm BC}^2 = 2\cdot \overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}+\overline{\rm AC}^2\)

이다.

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그러므로 주어진 선분 위의 임의의 점을 선분을 잘라 두 선분으로 나누면, 전체 선분으로 만든 정사각형 넓이와 나누어진 두 선분 중 한 선분으로 만든 정사각형의 넓이의 합은 전체 선분과 나누어진 한 선분으로 만든 직사각형의 넓이의 두 배에 나누어진 나머지 선분으로 만든 정사각형 넓이의 합과 같다.

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Q.E.D.