II 권
명제
주어진 선분의 한쪽 끝에 주어진 또 다른 선분을 일직선이 되도록 연결하면, 주어진 선분과 또 다른 선분을 일직선을 연결한 선분을 한 변으로 하고 또 다른 선분을 한 변으로 하는 직사각형 넓이와 주어진 선분을 이등분한 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이와의 합은 주어진 선분을 이등분한 선분과 또 다른 선분을 일직선이 되게 연결한 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이와 같다.
주어진 선분 \(\rm AB\)의 중점을 \(\rm C\), 선분 \(\rm AB\)의 점 \(\rm B\)쪽으로 연장선 위의 한 점을 \(\rm D\)라 하면, 선분 \(\rm AD\)와 선분 \(\rm BD\)를 이웃하는 두 변으로 하는 직사각형과 선분 \(\rm CB\)를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합은 선분 \(\rm CD\)를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 같다. 즉, \(\overline{\rm AD}\times\overline{\rm BD}+\overline{\rm CB}^2=\overline{\rm CD}^2\)이 성립한다.
선분 \(\rm AB\)의 중점을 \(\rm C\), 선분 \(\rm AB\)의 점 \(\rm B\)쪽으로 연장선 위의 한 점을 \(\rm D\)라 하자.
그러면, 선분 \(\rm AD\)와 선분 \(\rm BD\)를 이웃하는 두 변으로 하는 직사각형과 선분 \(\rm CB\)를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합은 선분 \(\rm CD\)를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이가 같다는 것을 보이자. 즉, \(\overline{\rm AD}\times\overline{\rm BD}+\overline{\rm CB}^2=\overline{\rm CD}^2\)이 성립함을 보이자.
선분 \(\rm AB\)의 중점을 \(\rm C\), 선분 \(\rm AB\)의 점 \(\rm B\)쪽으로 연장선 위의 한 점을 \(\rm D\)라 하자.
선분 \(\rm CD\)를 한 변으로 하는 정사각형 \(\rm CEFD\)를 작도할 수 있다. [I권 명제 46]
대각선 \(\rm DE\)를 긋고 점 \(\rm B\)를 지나고 선분 \(\rm CE\) 또는 선분 \(\rm DF\)에 평행한 직선이 선분 \(\rm EF\), 선분 \(\rm DE\)와 만나는 점을 각각 \(\rm G\), \(\rm H\)라 하자. [I권 명제 31]
점 \(\rm H\)를 지나고 선분 \(\rm AB\) 또는 선분 \(\rm Ef\)에 평행한 직선이 선분 \(\rm CE\), 선분 \(\rm DF\)와 만나는 점을 각각 \(\rm L\), \(\rm M\)이라 하고, 점 \(\rm A\)를 지나고 선분 \(\rm CL\) 또는 선분 \(\rm DM\)에 평행한 직선이 직선 \(\rm LM\)과 만나는 점을 \(\rm K\)라 하자.
\(\overline{\rm AC}=\overline{\rm CB}\)이므로 (직사각형 \(\rm AKLC\) 넓이)\(=\overline{\rm AC}^2=\overline{\rm CB}^2=\)(직사각형 \(\rm CLHB\) 넓이)이다.
또한, 직사각형 \(\rm HGFM\)과 직사각형 \(\rm CLHB\)은 보완 평행사변형(직사각형)이므로 (직사각형 \(\rm HGFM\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm CLHB\) 넓이)이다. [I권 명제 36, 명제 43]
따라서 (직사각형 \(\rm AKLC\) 넓이) \(=\)(직사각형 \(\rm HGFM\) 넓이)이다.
양변에 직사각형 \(\rm CLMD\) 넓이를 더하자. 그러면
(직사각형 \(\rm AKLC\) 넓이)\(+\)(직사각형 \(\rm CLMD\) 넓이) \(=\)(직사각형 \(\rm HGFM\) 넓이)\(+\)(직사각형 \(\rm CLMD\) 넓이)
이고 이를 정리하면, (직사각형 \(\rm AKMD\) 넓이)\(=\)(노몬 \(\rm NOP\) 넓이)이다. [II권 정의 2]
(정사각형 \(\rm LEGH\) 넓이)\(=\overline{\rm BC}^2\)를 양변에 더하자. 그러면
(직사각형 \(\rm AKMD\) 넓이)\(+\)(직사각형 \(\rm LEGH\) 넓이)=(노몬 \(\rm NOP\) 넓이)\(+\)(직사각형 \(\rm LEGH\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm CEGD\)\ 넓이)(=\overline{\rm CD}^2\) 넓이)
이다. 따라서
(직사각형 \(\rm AKMD\) 넓이)\(+\)(직사각형 \(\rm LEGH\) 넓이)\(=\overline{\rm AD}\times\overline{\rm BD}+\overline{\rm CB}^2=\overline{\rm CD}^2=\)(직사각형 \(\rm CEGD\)\ 넓이)
이 성립한다.
그러므로 주어진 선분의 한쪽 끝에 주어진 또 다른 선분을 일직선이 되도록 연결하면, 주어진 선분과 또 다른 선분을 일직선을 연결한 선분을 한 변으로 하고 또 다른 선분을 한 변으로 하는 직사각형 넓이와 주어진 선분을 이등분한 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이와의 합은 주어진 선분을 이등분한 선분과 또 다른 선분을 일직선이 되게 연결한 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이와 같다.
Q.E.D.
이 명제는 점 \(\rm D\)가 선분 \(\rm AB\)에 있지 않고 연장선 위에 있다는 점을 제외하고 이전 명제 [II권 명제 5]와 거의 유사하다.
\(b=\overline{\rm AB}\), \(x=\overline{\rm AD}\), \(y=\overline{\rm BD}\)로 나타내면 [II권 명제 5]에서와 같이 나타내자. 그러면 \(x-y=b\)이다([II권 명제 5]에서와 같이 처럼 나타내면 이것과는 반대이다.).
이 명제는 (직사각형 \(\rm AKMD\) 넓이)\(=xy\)는 큰 정사각형 (정사각형 \(\rm CEFD\) 넓이)에서 작은 (정사각형 \(\rm BHMD\) 넓이)를 뺀 것과 같다. \(\overline{\rm CD}=x-\frac{b}{2}\)이고, \(\overline{\rm BD}=\frac{b}{2}\)이므로 이를 대수적을 나타내면, \(x\left(x-y\right)=\left(x-\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2\)이다.
이 방정식은 현대 대수학으로 쉽게 검증 할 수 있지만, 이 명제의 증명과 같이 기하학적으로도 쉽게 증명 할 수 있다. 기하학적 첫 번째 증명 작업은 선분의 잘라내기와 붙이기이다.
(직사각형 \(\rm AKMD\) 넓이)\(=\overline{\rm AD}\times\overline{\rm DB}\)(직사각형 \(\rm AKLC\) 넓이)\(+\)(직사각형 \(\rm CLMD\) 넓이)이다.
그러나 (직사각형 \(\rm AKLC\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm CLHB\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm HGFM\) 넓이)이므로
\(\overline{\rm AD}\times\overline{\rm DB}=\)(직사각형 \(\rm AKMD\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm CLHB\) 넓이)\(+\)(직사각형 \(\rm BGFD\) 넓이)\(=\)(노몬 \(\rm NOP\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm CEFD\) 넓이)\(-\)(정사각형 \(\rm LEGH\) 넓이)\(=\)\(\overline{\rm CD}^2-\overline{\rm LH}^2=\overline{\rm CD}^2-\overline{\rm BC}^2\)이다.