II 권
명제
주어진 선분을 길이가 같도록 자르고, 이 중 한 선분 위에 한 점을 잡아 두 선분의 길이가 다르게 자르면, 주어진 선분의 절 반와 나머지 절반의 선분을 자른 선분 중 한 선분을 합친 선분과 나머지 한 선분으로 만든 직사각형 넓이와 나머지 선분을 만든 정사각형 넓이의 합은 주어진 선분의 절반을 만든 정사각형 넓이와 같다.
주어진 선분 \(\rm AB\)의 중점을 \(\rm C\), 선분 \(\rm CD\)위의 임의의 점 \(\rm D\)에 대하여, 선분 \(\rm AD\)와 선분 \(\rm DB\)를 이웃하는 두 변으로 하는 직사각형의 넓이와 선분 \(\rm CD\)를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합은 선분 \(\rm AC\)를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 같다.
주어진 선분 \(\rm AB\)의 중점을 \(\rm C\), 선분 \(\rm CD\)위의 임의의 점 \(\rm D\)가 있다.
그러면, 선분 \(\rm AD\)와 선분 \(\rm DB\)를 이웃하는 두 변으로 하는 직사각형의 넓이와 선분 \(\rm CD\)를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합은 선분 \(\rm AC\)를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 같다는 것을 보이자. 즉, \(\overline{\rm AD}\times \overline{\rm DB}+\overline{\rm CD}^2=\overline{\rm CB}^2\)임을 보이자.
선분 \(\rm AB\)의 중점을 \(\rm C\), 선분 \(\rm CD\)위의 임의의 점을 \(\rm D\)라 하자.
선분 \(\rm CD\)를 한 변으로 하는 정사각형 \(\rm CEFB\)를 작도할 수 있다. [I권 명제46]
대각선 \(\rm BE\)를 긋고 점 \(\rm D\)를 지나고 선분 \(\rm BF\)와 평행한 직선이 선분 \(\rm EF\)와 만나는 점을 \(\rm G\), 선분 \(\rm BE\)와 만나는 점을 \(\rm H\)라 하자. 점 \(\rm H\)를 지나고 선분 \(\rm AB\)와 평행한 직선이 두 선분 \(\rm CE\), \(\rm BF\)와 만나는 점을 각각 \(\rm L\), \(\rm M\)이라 하고 점 \(\rm A\)를 지나고 선분 \(\rm BF\)와 평행한 직선이 직선 \(\rm LM\)과 만나는 점을 \(\rm K\)라 하자. [I권 명제 31]
직사각형 \(\rm CLHD\)와 직사각형 \(\rm HGFM\)은 보완 평행사변형이므로 (직사각형 \(\rm CLHD\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm HGFM\) 넓이)이다. [I권 명제 43]
양변에 정사각형 \(\rm DHMB\)의 넓이를 더하면, (직사각형 \(\rm CLHD\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm DHMB\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm HGFM\) 넓이)\(\rm DHMB\)이고 이를 정리하면 (직사각형 \(\rm CLMB\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm DGFB\)의 넓이)이다.
그런데\(\overline{\rm CB}\)=\(\overline{\rm AC}\)이므로 (직사각형 \(\rm CLMB\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm AKLC\) 넓이)이다. [I권 명제 36]
그러므로 (직사각형 \(\rm AKHD\) 넓이)\(=\)(그노몬 \(NOP\) 넓이)이다. 또한,
(직사각형 \(\rm AKHD\) 넓이)\(=\overline{\rm AD}\times \overline{\rm DB}\)이고, \(\overline{\rm DH}=\overline{\rm DB}\)이다.
그리고 (정사각형 \(\rm LEGH\) 넓이)\(=\overline{\rm CD}^2\)을 양변에 더하자.
(그노몬 \(\rm NOP\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm LEGH\) 넓이)\(=\overline{\rm CB}^2=\)(정사각형 \(\rm CEFB\) 넓이)이다.
그러므로 (직사각형 \(\rm AKHD\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm LEGH\) 넓이)\(=(\overline{\rm AD}\times \overline{\rm DB}+\overline{\rm CD}^2=\overline{\rm CB}^2=\)(정사각형 \(\rm CEFB\) 넓이)이다.
그러므로 주어진 선분을 길이가 같도록 자르고, 이 중 한 선분 위에 한 점을 잡아 두 선분의 길이가 다르게 자르면, 주어진 선분의 절 반와 나머지 절반의 선분을 자른 선분 중 한 선분을 합친 선분과 나머지 한 선분으로 만든 직사각형 넓이와 나머지 선분을 만든 정사각형 넓이의 합은 주어진 선분의 절반을 만든 정사각형 넓이와 같다.
Q.E.D.
그림에는 NOP 점으로 표시된 원의 일부가 있다. 이것은 정사각형 BCEF에서 정사각형 EGHL을 제거한 3개 부분을 그노몬을 나타내는 것으로 추정된다. 이후 버전의 원론에는 그림에서 이 곡선이 없어졌다. 대신에 그노몬을 그노몬 LBG로 정의 하였다. 어느 쪽이든 그노몬을 정의하게는 충분하다.
대수적으로 \(x\)와 \(y\)인 두 변의 길이로 직사각형의 넓이를 \(xy\)로 표현할 수 있다. 위의 그림에서는 \(x=\overline{\rm AD}\), \(y=\overline{\rm DH}\)로 나타내면 (직사각형 \(\rm AKHD\) 넓이)로 나타내자. 그러면 이 명제는 직사각형 넓이인 는 두 정사각형의 넓이의 차이 즉, 한 변의 길이가 \(\overline{\rm BC}=\frac{x+y}{2}\)인 큰 정사각형의 넓이 \(\left( \frac{x+y}{2}\right)^2\)에서 한 변의 길이가 \(\overline{\rm LH}=\overline{\rm CD}=\frac{x-y}{2}\)인 작은 정사각형의 넓이 \(\left( \frac{x-y}{2}\right)^2\)을 뺀 것과 같다.
이를 대수적으로 다시 표현하면 아래와 같은 항등식 \(xy=\left( \frac{x+y}{2}\right)^2-\left( \frac{x-y}{2}\right)^2\)으로 나타내어 진다.
그러나 유클리드는 기하학적 증명으로 제한하였다. 증명은 어렵지 않다. 원래 (직사각형 \(\rm AKHD\) 넓이) \(=\)(직사각형 \(\rm AKLC\) 넓이)\(+\)(직사각형 \(\rm CLHD\) 넓이)이다. [I권 명제43]에 의해 (직사각형 \(\rm CLHD\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm HGFM \)넓이)이다. 물론 가정에 의해서 (직사각형 \(\rm AKLC\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm CLMB\) 넓이)이다.
(직사각형 \(\rm AKHD\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm AKLC\) 넓이) \(+\) (직사각형 \(\rm CLHD\) 넓이) \(=\)(직사각형 \(\rm CLHD\) 넓이) \(+\) (직사각형 \(\rm HGFM \) 넓이)\(=\overline{\rm CD}^2-\overline{\rm LH}^2\)이다.