증명

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주어진 선분 \(\rm AB\) 위에 임의의 점을 \(\rm C\)라 하자.

그러면, 주어진 선분 \(\rm AB\)를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 선분 \(\rm AC\)와 선분 \(\rm BC\)를 각각 한 변으로 하는 정사각형 두 개의 넓이와 선분 \(\rm AC\)와 선분 \(\rm BC\)로 만든 직사각형의 넓이의 2배의 합과 같음을 보이자. 즉, \(\overline{\rm AB}^2=\overline{\rm AC}^2+\overline{\rm BC}^2+2\times\overline{\rm AC}\times\overline{\rm BC}\)임을 보이자.

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주어진 선분 \(\rm AB\) 위의 점 \(\rm C\)가 있다. 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)로 두 선분 \(\rm AC\)와 \(\rm BC\)로 나누자.

선분 \(\rm AB\)를 한 변으로 하는 정사각형 \(\rm ADEB\)를 만들자. [I권 명제 46]

그리고 선분 \(\rm AB\) 위에 임의의 점 \(\rm C\)를 지나고 선분 \(\rm AB\)와 수직인 선분과 대각선 \(\rm BD\)가 만나는 점을 \(\rm G\)라 하고, 두 선분 \(\rm CG\)와 \(\rm DE\)가 만나는 점을 \(\rm F\)라 하자.

점 \(\rm G\)를 지나고 두 선분 \(\rm AB\) 또는 \(DE\)에 평행한 직선을 그어 두 선분 \(\rm AD\), \(\rm BE\)와 만나는 점을 각각 \(\rm H\), \(\rm K\)라 하자. [I권 명제 31]

두 선분 \(\rm CF\)와 \(\rm AD\)가 평행(\rm CF \parallel \rm AD)이므로 \(\angle\rm CGB=\angle\rm ADB\)이고, \(\overline{\rm BA}=\overline{\rm AD}\)이므로 \(\angle\rm ABD=\angle\rm ADB\)이다. [I권 명제 29, 명제 5]

따라서 \(\angle\rm CGB=\angle\rm GBC\)이고 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm CG}\)이다. [I권 명제 6]

그런데 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm GK}\)이고 \(\overline{\rm CG}=\overline{\rm BK}\)이므로 \(\overline{\rm GK}=\overline{\rm BK}\)이다. 그러므로 사각형 \(\rm CGKB\)는 모든 변의 길이가 같다. \(\cdots\)①

다음으로 사각형 \(\rm CGKB\)의 모든 내각이 직각임을 보이자.

두 선분 \(\rm CG\)와 \(\rm BK\)가 평행하므로 \(\angle\rm KBC+\angle\rm GCB=180^\circ\)이다. [I권 명제 29]

그런데 \(\angle\rm KBC=90^\circ\)이므로 \(\angle\rm BCG=90^\circ\)이다.

따라서 마주보는 두 대각인 각 \(\rm CGK\)와 각 \(\rm GKB\)도 \(\angle\rm CGK=\angle\rm GKB=90^\circ\)이다. [I권 명제 34]

그러므로 사각형 \(\rm CGKB\)의 모든 내각이 직각이다. \(\cdots\)②

①과 ②에 의하여 사각형 \(\rm CGKB\)는 선분 \(\rm BC\)를 한 변으로 하는 정사각형이다.

동일한 방법으로 사각형 \(\rm HDFG\)는 선분 \(\rm HG\)를 한 변으로 하는 정사각형이고 \(\overline{\rm HG}=\overline{AC}\)이다. [I권 명제 34]

즉, 정사각형 \(\rm HDFG\)와 정사각형 \(\rm CGKB\)는 선분 \(\rm AC\), 선분 \(\rm BC\)로 만든 각각의 정사각형들과 같다.

\(\overline{\rm GK}=\overline{\rm CG}=\overline{\rm BC}\)이고 \(\overline{\rm FG}=\overline{\rm AC}\)이므로 (직사각형 \(\rm AHGC\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm GFEK\) 넓이)\(=\)(두 선분 \(\rm AC\)와 \(\rm BC\)로 만든 직사각형 넓이)\(=\overline{\rm AC}\times\overline{\rm BC}\) 이다.

그러므로 (직사각형 \(\rm AHGC\) 넓이)\(+\)(직사각형 \(\rm GFELK\) 넓이)\(=2\times\)(두 선분 \(\rm AC\)와 \(\rm BC\)로 만든 직사각형 넓이)\(=2\times\overline{\rm AC}\times\overline{\rm BC}\) 이다.

따라서 (선분 \(\rm AB\)를 한 변을 하는 정사각형 넓이)\(=\overline{\rm AB}^2=\)(정사각형 \(\rm ADEB\) 넓이)

\(=\)(정사각형 \(\rm CGKB\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm HDFG\) 넓이)\(+\)(직사각형 \(\rm AHGC\) 넓이)\(+\) (직사각형 \(\rm GFEK\) 넓이)

\(=\overline{\rm AC}^2+\overline{\rm BC}^2+2\times\overline{\rm AC}\times\overline{\rm BC}\)

\(=\)(선분 \(\rm AC\)로 만든 정사각형 넓이)\(+\)(선분 \(\rm BC\)로 만든 정사각형 넓이)\(+2\times\)(두 선분 \(\rm AC\)와 \(\rm BC\)로 만든 직사각형 넓이)

이다.

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그러므로 주어진 선분 위의 임의의 점으로 두 선분으로 나누면, 주어진 선분으로 만든 정사각형의 넓이는 나누어진 각 선분으로 만든 두 정사각형의 넓이와 나누어진 두 선분으로 만든 직사각형의 넓이 2배의 합과 같다.

Q.E.D.