명제 4
주어진 선분 위의 임의의 점으로 두 선분으로 나누면, 주어진 선분으로 만든 정사각형의 넓이는 나누어진 각 선분으로 만든 두 정사각형의 넓이와 나누어진 두 선분으로 만든 직사각형의 넓이 2배의 합과 같다.
주어진 선분 위에 임의의 점을 라 하면, 주어진 선분 를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 선분 와 선분 를 각각 한 변으로 하는 정사각형 두 개의 넓이와 선분 와 선분 로 만든 직사각형의 넓이의 2배의 합과 같다.
증명
주어진 선분 위에 임의의 점을 라 하자.
그러면, 주어진 선분 를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 선분 와 선분 를 각각 한 변으로 하는 정사각형 두 개의 넓이와 선분 와 선분 로 만든 직사각형의 넓이의 2배의 합과 같음을 보이자. 즉, 임을 보이자.
주어진 선분 위의 점 가 있다. 선분 를 점 로 두 선분 와 로 나누자.
선분 를 한 변으로 하는 정사각형 를 만들자. [I권 명제 46]
그리고 선분 위에 임의의 점 를 지나고 선분 와 수직인 선분과 대각선 가 만나는 점을 라 하고, 두 선분 와 가 만나는 점을 라 하자.
점 를 지나고 두 선분 또는 에 평행한 직선을 그어 두 선분 , 와 만나는 점을 각각 , 라 하자. [I권 명제 31]
두 선분 와 가 평행(\rm CF \parallel \rm AD)이므로 이고, 이므로 이다. [I권 명제 29, 명제 5]
따라서 이고 이다. [I권 명제 6]
그런데 이고 이므로 이다. 그러므로 사각형 는 모든 변의 길이가 같다. ①
다음으로 사각형 의 모든 내각이 직각임을 보이자.
두 선분 와 가 평행하므로 이다. [I권 명제 29]
그런데 이므로 이다.
따라서 마주보는 두 대각인 각 와 각 도 이다. [I권 명제 34]
그러므로 사각형 의 모든 내각이 직각이다. ②
①과 ②에 의하여 사각형 는 선분 를 한 변으로 하는 정사각형이다.
동일한 방법으로 사각형 는 선분 를 한 변으로 하는 정사각형이고 이다. [I권 명제 34]
즉, 정사각형 와 정사각형 는 선분 , 선분 로 만든 각각의 정사각형들과 같다.
이고 이므로 (직사각형 넓이)(직사각형 넓이)(두 선분 와 로 만든 직사각형 넓이)
이다.
그러므로 (직사각형 넓이)(직사각형 넓이)(두 선분 와 로 만든 직사각형 넓이) 이다.
따라서 (선분 를 한 변을 하는 정사각형 넓이)(정사각형 넓이)
(정사각형 넓이)(정사각형 넓이)(직사각형 넓이) (직사각형 넓이)
(선분 로 만든 정사각형 넓이)(선분 로 만든 정사각형 넓이)(두 선분 와 로 만든 직사각형 넓이)
이다.
그러므로 주어진 선분 위의 임의의 점으로 두 선분으로 나누면, 주어진 선분으로 만든 정사각형의 넓이는 나누어진 각 선분으로 만든 두 정사각형의 넓이와 나누어진 두 선분으로 만든 직사각형의 넓이 2배의 합과 같다.
Q.E.D.