증명

---

주어진 선분 \(\rm AB\)의 내부의 임의의 한 점을 \(\rm C\)라 하자.

그러면, 두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm BC\)으로 만든 직사각형 넓이는 \(\rm BC\)를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 두 선분 \(\rm AC\), \(\rm BC\)로 만든 직사각형의 넓이의 합과 같다는 것을 보이자. 즉, \(\overline{\rm AB}\times\overline{\rm BC}=\overline{\rm BC}^2+\overline{\rm AC}\times\overline{\rm BC}\)임을 보이자.

---

주어진 선분 \(\rm AB\)의 내부에 점 \(\rm C\)를 잡으면 두 선분 \(\rm AC\)와 \(\rm CB\)으로 나누어진다. 이때 나누어진 선분 중 한 선분을 \(\rm BC\)라고 하자.

선분 \(\rm CB\)를 한 변으로 하는 정사각형 \(\rm CDEB\)를 만들자. [I권 명제 46]

선분 \(\rm ED\)를 연장한 직선 위의 점 \(\rm F\)를 잡아 선분 \(\rm DF\)를 그리리는데 점 \(\rm A\)에서 선분 \(\rm CD\) 또는 선분 \(\rm BE\)에 평행하도록 선분 \(\rm AF\)를 그리자.

그러면 (직사각형 \(\rm AFEB\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm AFDC\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm CDEB\) 넓이) 이다. [I권 명제 31]

이때 \(\overline{\rm BE}=\overline{\rm BC}\)이므로 직사각형는 두 선분 \(\rm AB\), \(\rm BC\)으로 만든 직사각형 넓이 \(\overline{\rm AB}\times\overline{\rm BC}\)와 같다.

또한 \(\overline{\rm DC}=\overline{\rm CB}\)이므로 직사각형 \(\rm AFDC\)는 두 선분 \(\rm AC\), \(\rm CB\)로 만든 직사각형 넓이 \(\overline{\rm AC}\times\overline{\rm CB}\)와 같다.

직사각형 \(\rm CDEB\)는 선분 \(\rm CB\)로 만든 정사각형이므로 그 넓이는 \(\overline{\rm BC}^2\)이다.

그러므로 (직사각형 \(\rm AFEB\) 넓이)\(=\)(\(\rm AB\)와 \(\rm BC\)로 만든 직사각형 넓이)

\(=\overline{\rm AB}\times\overline{\rm BC}=\left(\overline{\rm AC}+\overline{\rm BC}\right)\times\overline{\rm BC}=\overline{\rm AC}\times\overline{\rm BC}+\overline{\rm BC}\times\overline{\rm BC}=\overline{\rm BC}^2+\overline{\rm AC}\times\overline{\rm BC}\)

(\(\rm AC\)와 \(\rm CB\)로 만든 직사각형 넓이)(선분 \(\rm BC\)로 만든 정사각형 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm AFDC\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm CDEB\) 넓이)

이 성립한다.

---

그러므로 주어진 선분 위의 임의의 한 점을 잡아 선분을 둘로 나누면, 주어진 선분과 나누어진 두 선분 중 한 선분으로 만든 직사각형 넓이는 그 한 선분으로 만든 정사각형 넓이와 주어진 선분과 나머지 한 선분으로 만든 직사각형 넓이의 합과 같다.

Q.E.D.