증명

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주어진 선분 \(\rm AB\) 위의 임의의 점 \(\rm C\)가 있다.

그러면, 선분 \(\rm AB\)로 만든 정사각형의 넓이는 선분 \(\rm AC\)와 선분 \(\rm BA\) 만든 직사각형과 선분 \(\rm CB\)와 선분 \(\rm AB\)로 만든 직사각형의 넓이의 합과 같음을 보이자. 즉, \(\overline{\rm AB}^2=\overline{\rm AB}\times\overline{\rm AC}+\overline{\rm AB}\times\overline{\rm CB}\)임을 보이자.

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주어진 선분을 \(\rm AB\)이라고 하자. 선분 \(\rm AB\) 위에 임의의 점 \(\rm C\)를 잡아서 두 선분 \(\rm AC\), \(\rm CB\)로 나누자.

선분 \(\rm AB\)로 정사각형 \(\rm ABED\)를 작도할 수 있다. [I권 명제 46]

그러면 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AD}\)이다.

그리고 선분 \(\rm DE\) 위의 점 \(\rm F\)를 잡아 점 \(\rm C\)를 지나면서 선분 \(\rm AD\) 또는 선분 \(\rm BE\)에 평행한 선분 \(\rm CF\)를 그리자. 그러면 \(\overline{\rm AE}=\overline{\rm CF}=\overline{\rm BD}\)이다. [I권 명제 31]

(직사각형 \(\rm ABED\) 넓이)(두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm AD\)로 만든 직사각형의 넓이)

\(=\overline{\rm AB}\times\overline{\rm AD}=\overline{\rm AB}\times\overline{\rm AB}=\overline{\rm AB}^2\)

이고,

(직사각형 \(\rm ACFD\) 넓이)\(+\)(직사각형 \(\rm CBEF\) 넓이)

\(=\overline{\rm AD}\times\overline{\rm AC}+\overline{\rm CF}\times\overline{\rm CB}\)\(=\overline{\rm AB}\times\overline{\rm AC}+\overline{\rm AB}\times\overline{\rm CB}\)\(=\overline{\rm AB}\left(\overline{\rm AC}+\overline{\rm CB} \right)\)\(=\overline{\rm AB}\times\overline{\rm AB}=\overline{\rm AB}^2\)

이다. 따라서 (직사각형 \(\rm ABED\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm ACFD\) 넓이)\(+\)(직사각형 \(CBEF\) 넓이)이 성립한다.

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그러므로 주어진 선분 위의 여러 개의 임의의 점을 잡아서 여러 개로 나눈 선불들과 주어진 선분으로 만든 직사각형의 넓이의 합은 주어진 선분으로 만든 정사각형 넓이와 같다.

Q.E.D.